Алгебра - Варден Б.Л.
Скачать (прямая ссылка):
Поскольку роли полей Л и Л взаимно заменимы, первую часть теоремы можно сформулировать так: если по крайней мере одно из полей Л или Л имеет конечную степень и сепарабельно над Р, то алгебра ЛхЛ полупроста. Так как, кроме того, алгебра ЛхЛ коммутативна, отсюда следует: ЛхЛ является прямой суммой полей (ср. § 102, задача 3).
2. Перейдем теперь к случаю, когда Л — некоторое тело К. Этот случай сводится к коммутативному на основе следующей редукционной теоремы:
374
АЛГЕБРЫ
[ГЛ. ХШ
Если К — тело над полем Р с центром Z2P, А —некоторая алгебра над Р и если А = К х Л и 3 = Z х Л, то каждый двусторонний идеал л в кольце & порождается некоторым двусторонним идеалом из 3-
Редукционная теорема будет наилучшим образом восприниматься, если ее обобщить и высказать как некоторую теорему
0 модулях:
Пусть К — тело, обладающее некоторыми автоморфизмами а. Пусть ЭЛ — некоторый К-модуль конечного ранга:
?0г = г1К + ... + г?К.
Автоморфизмы а тела К индуцируют автоморфизмы модуля ЭЛ, определяемые равенством
о (гл +... + ггх9) = гх (ощ) +... + гд (охд).
Тогда утверждается: любой подмодуль а модуля ЭЛ, выдерживающий автоморфизмы о, обладает К-базисом, элементы которого остаются неподвижными при этих автоморфизмах.
Доказательство. Если (ги ..., zr) — некоторый К-базис подмодуля а, то его можно дополнить несколькими элементами zh скажем, zr?l, ..., zg, до К-базиса всего модуля ЭЛ. Каждый элемент из ЭЛ сравним по модулю а с некоторой линейной формой от 2г+1, ..., zg с коэффициентами из К. В частности, для
1 = l, 2, ..., г имеет место сравнение
я
Zi= 2 Zkykt (mod а).
k=r+1 у
Положим
Q
h = Zi- 2 zkyki.
k = r+ 1
Тогда формы lt — линейно независимые элементы модуля а: ведь любое линейное соотношение между /( приводит к такому же соотношению между zlt ..., zr, а последние элементы независимы. Тем самым, элементы 1Ъ ..., 1Г составляют некоторый К-базис в а. Если к lt применить автоморфизм а, то получится
я
= — zk{ayM). (1)
г + 1
Элементы oil вновь должны принадлежать модулю а, а потому
быть линейными комбинациями исходных элементов 1р
г Я
oii = 21л = S zia) ~ 2 г" S V*/*/- (2)
1 г + 1 1
§ 103]
ПОВЕДЕНИЕ АЛГЕБР ПРИ РАСШИРЕНИИ ПОЛЯ
375
Сравнивая (1) и (2), получаем: все ау должны быть равны 0, кроме 0,1=1. Тем самым ст/; = /;, что и утверждалось.
Чтобы получить редукционную теорему из теоремы о модулях, нужно лишь в качестве упоминавшихся в теореме о модулях автоморфизмов взять внутренние автоморфизмы xi—»-PxjM1 тела К. Преобразование посредством р действует на сумму гххх +... + zgxq следующим образом: элементы zi оно оставляет неподвижными, а элементы Х{ переводит в РхгР"1. Любой двусторонний идеал а в произведении КхЛ является также и двусторонним К-модулем, а потому допускает автоморфизмы а->рар_1. Таким образом, идеал а обладает базисом, состоящим из таких элементов ^ г*хь которые при преобразовании р переходят в себя, т. е. коэффициенты xi которых принадлежат центру Z тела К. Но эти же базисные элементы принадлежат и 3 = ZxA, чем и доказывается редукционная теорема.
Дополнение. Редукционная теорема сираведлива и тогда, когда вместо Л берется произвольное тело й в предположении, что К имеет конечный ранг над Р. Действительно, если а —двусторонний идеал алгебры & = К X й, то идеал а, как и алгебра имеет конечный ранг над й, а потому и конечный й-базис (а1( ..., а4). Базисные элементы, выраженные в форме о);хг, содержат лишь конечное число элементов которые порождают конечный подмодуль Л в й. К произведению ЗЛ = КхЛ и его подмодулю а П 9Д можно в таком случае применить теорему о модулях и найти базис для а П S0?, т. е. базис идеала а, который остается инвариантным относительно внутренных автоморфизмов тела К и, следовательно, принадлежит кольцу Zx й.
Начиная с этого места, К и Л будут алгебрами с делением над полем Р или, в частности, расширениями поля Р. Из редукционной теоремы непосредственно следует утверждение:
Если алгебра ZXА проста, то проста и алгебра КхЛ. Если алгебра ZxA полупроста, т. е. является прямой суммой простых алгебр, то КхЛ является прямой суммой такого же числа простых алгебр, т. е. снова полупростой алгеброй.
Подобно тому как можно заменить кольцо К на его центр Z, кольцо Л можно заменить на его собственный центр. Таким образом, имеет место предложение:
Если произведение центров тел К и А простое или полу простое, то КхЛ простое или соответственно полупростое. В частности, произведение КхЛ полупросто тогда, когда один из центров сепарабелен над Р.
Если алгебра К центральна над Р, т. е. Z = P, то произведение ZxA = ? является алгеброй с делением, а потому простой-Мы получили утверждение:
376
АЛГЕБРЫ
[ГЛ. XIII
Если одно из тел К или Л центрально над Р, то алгебра
К хЛ проста.
3. Переход от алгебр с делением к простым алгебрам, т. е. к полным матричным кольцам 'Л = К0 осуществить легко. Если Л —произвольное тело над Р, то
Д X Л = К, X Л = К X Рг X Л ^ (К X Л) х Рг.
Когда КхЛ —полупростая алгебра, т. е. прямая сумма полных матричных колец, для получения алгебры Д+Л все эти матричные кольца нужно умножить на РЛ, т. е. умножить порядок матриц на г. Что касается простоты или полупростоты произведения КхЛ, то здесь ничего не меняется.
