Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Варден Б.Л. -> "Алгебра " -> 144

Алгебра - Варден Б.Л.

Варден Б.Л. Алгебра — Наука , 1950. — 649 c.
Скачать (прямая ссылка): algebra1950.djvu
Предыдущая << 1 .. 138 139 140 141 142 143 < 144 > 145 146 147 148 149 150 .. 247 >> Следующая

Задача 1. При любом вполне приводимом представлении кольца о радикал 9! представляется нулем.
Задача 2. Простое кольцо, не являющееся примитивным, — это не что иное, как простая аддитивная группа; все произведения аЬ равны нулю.
Задача 3. Любая простая алгебра без единицы является одномерным векторным пространством ^Р, где а\ = 0.
§ 101. Кольцо эндоморфизмов прямой суммы
Пусть ЭЛ = ЭЛ1-|- ... + ЭЛ„ — прямая сумма п простых модулей. Мы собираемся исследовать кольцо эндоморфизмов модуля ЭЛ.
Если какой-либо элемент и модуля ЭЛ имеет разложение на ЭЛгкомпоненты вида
м = «1 -ф ... Ц- ип, (1)
то каждое отображение и>—является некоторым эндоморфизмом хг. Сумма всех этих эндоморфизмов является тождествен-
ным эндоморфизмом ы
1 = ^+ ... +х„. (2)
§ 101]
КОЛЬЦО ЭНДОМОРФИЗМОВ ПРЯМОЙ СУММЫ
369
Таким образом, каждый эндоморфизм ц может быть представлен в виде
р = 1|П = (2 ИА) р (2 щ) = 2 ИлРЯ-
Л, ?
Положим
хЛрх, = рЛ<; (3)
тогда
Е = 2
/г, ?
Каждый из эндоморфизмов рА( отображает модуль ЭЛА в модуль 9Лг, а все остальные модули ЗЛА (1гф1г) — в нуль. Следовательно, можно считать, что рЛг является гомоморфизмом модуля ЭЛА в модуль ЗЛг. Гомоморфизмы рлг, входящие в (4), — всего их п2 — можно выбирать произвольно; при этом их сумма всегда будет некоторым эндоморфизмом р и каждый эндоморфизм р можно получить таким способом. Разложение р на гомоморфизмы рЛ(-модуля ЗЛА в модуль ЭЛ,- однозначно, так как из (4) следует (3), если первое из равенств умножить слева на хА, а справа — на х,.
Если р = ^1-1л( и V = 2''’л; — два эндоморфизма, то легко построить их сумму и произведение. Для этого нужно иметь в виду, что |Д.а,у;-а равно нулю для 1ф'р Таким образом,
к, I
^=2(2 (6)
к, к\ I Г
Эндоморфизмы рн можно записать в виде матрицы ||рАД. Тогда каждому эндоморфизму р окажется сопоставленной матрица из гомоморфизмов рл;, которые могут быть любыми; при этом сумме р + у сопоставляется в соответствии с (5) сумма матриц, а произведению цу в соответствии с (6) — произведение матриц.
Вообще говоря, многие из гомоморфизмов рлг равны нулю. Точнее, имеет место следующая теорема:
Если модуль ЭЛА гомоморфно отображается в модуль ЭЛ,- и это отображение не является нулевым, то оно является изоморфизмом из ?ЛА на 9Лг-
Доказательство. Ядро такого гомоморфизма является подмодулем в ЭЛА и поэтому, если ЭЛА не переводится в нуль целиком, это ядро равно {0}. Образом является некоторый подмодуль в ?0?г и, так как он не равен нулю, он совпадает с ЭЛ,-.
Из этой теоремы следует, что рАг = 0, за исключением случая, когда имеет место изоморфизм 9ЛЛ^ЭЛ;. Если мы распределим модули ЯЛ, на классы изоморфных друг другу и перенумеруем их так, чтобы ЯЛХ, ..., ЯЛ? были попарно изоморфны, затем ЭЛ?Н1, ..., 9Л?+, были попарно изоморфны и т. д., то,
370
АЛГЕБРЫ
[ГЛ XIII
очевидно, матрицы ЦцлгЦ распадутся на квадратные блоки из ц, г, ... строк и столбцов, вне которых будут стоять нули:
Цн Ц17 Цді ••• Pqq
1 ЧАІ • • • Р?+г ?41 ? ?•
Если писать в первом блоке произвольные элементы, а во всех остальных — нули, то получится некоторое матричное кольцо Ех, являющееся подкольцом кольца Е исходных матриц; точно так же, если всюду вне второго блока писать нули, то получится некоторое кольцо Е2 и т. д. Очевидно, что каждый элемент кольца Е представляется в виде суммы элементов из Ех, Е2, ... и что элементы из Ех, Е2, ... аннулируют друг друга. Таким образом, кольцо Е является прямой суммой аннулирующих друг друга колец Ех, Е2, ...
Чтобы выяснить строение кольца Е, нам нужно изучить лишь одно из колец Е(, например, Ех. Элементам из Ех сопоставлены <7-строчные матрицы
[ХХ1 . ? Нч
М<?і • ? \l-qq
первого блока.
Элемент ц1Х принадлежит телу эндоморфизмов Кх модуля ЭЛХ. Остальные элементы ры не принадлежат этому телу, а являются гомоморфизмами из ЭЛА в ЭЛ,-. Однако можно однозначно отобразить эти элементы на некоторые элементы тела Кх; для этой цели мы фиксируем ц изоморфизмов
М-1, • * *»
отображающих ЭЛХ, ..., ЭЛ? на ЭЛХ. В качестве 1ьь1 мы выберем тождественный автоморфизм. Сопоставим каждому ры элемент
К1 = МЛ‘Мл;Мг, (8)
принадлежащий телу Кх (так как р,/,1 отображает ЭЛХ на ЭЛА, ры отображает ЭЭ?А в ЭЛг, а р.,- отображает ЭЛ, на ЭЛХ). Очевидно при этом сумме рыЛ-Уы соответствует снова сумма, а произведению встречающемуся в (6), соответствует произведение. Таким способом матрице (7) однозначно сопоставляется матрица || Хы || с элементами из тела Кх, причем сумма переходит в сумму, а произведение — в произведение. Поэтому кольцо Ех изоморфно
§ 102]
СТРУКТУРНЫЕ ТЕОРЕМЫ
371
кольцу всех ^-строчных матриц с элементами из тела Кг — тела автоморфизмов простого модуля ЭЛХ.
Подводя итог сказанному, мы получаем следующую теорему:
Структурная теорема о кольцах эндоморфизмов. Кольцо эндоморфизмов вполне приводимого модуля ЭЛ является прямой суммой полных матричных колец Е, над телами К;.
§ 102. Структурные теоремы о полупростых и простых кольцах
Мы исходим из произвольного кольца о с правой единицей е\ ае = а для всех а.
Будем рассматривать о как модуль, для которого само же г служит областью левых операторов, и попытаемся определить эндоморфизмы р этого модуля. Эндоморфизмы р. являются отображениями модуля с в себя такими, что
Предыдущая << 1 .. 138 139 140 141 142 143 < 144 > 145 146 147 148 149 150 .. 247 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed