Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Варден Б.Л. -> "Алгебра " -> 143

Алгебра - Варден Б.Л.

Варден Б.Л. Алгебра — Наука , 1950. — 649 c.
Скачать (прямая ссылка): algebra1950.djvu
Предыдущая << 1 .. 137 138 139 140 141 142 < 143 > 144 145 146 147 148 149 .. 247 >> Следующая

Теорема 18. Любой простой о-модуль 3)1, не аннулируемый кольцом с, изоморфен модулю классов вычетов о/? по некоторому модулярному максимальному левому идеалу 1. Если $ — ядро представления, соответствующего модулю ЭЛ, то радикал Л содержится в идеале т. е. все элементы из Л представляются нулем.
Вернемся к примитивным кольцам. Из полупростоты кольца о следует, что при условии минимальности для левых идеалов кольцо о является прямой суммой минимальных левых идеалов:
р = (1 + .. . + !«•
По крайней мере один из идеалов Г; не содержится в идеале 2, потому что иначе сумма о = 1Х+ принадлежала бы 2, а это
невозможно. Сумма ((,-, 2) равна тогда кольцу о, потому что 2 — максимальный идеал, в пересечение П 2 равно нулю, так как [; — минимальный идеал. Следовательно, имеет место изоморфизм
р/2^Гг.
Модуль ЭЛ изоморфен, таким образом, некоторому простому левому идеалу [г, а представление, соответствующее модулю ЭЛ, эквивалентно представлению, соответствующему модулю Гг.
Согласно § 99 кольцо о является прямой суммой двусторонних идеалов IV, все они, за исключением одного, представляются нулем в представлении, соответствующем идеалу К Если представление точное, то может существовать лишь один идеал щ., т. е. о само по себе является простым кольцом с единицей. Мы доказали следующую теорему:
Теорема 19. Любое примитивное кольцо с условием минимальности для левых идеалов является простым и обладает единицей.
Если объединить теоремы 16 и 19, то станет ясно, что для колец с условием минимальности, в частности, для алгебр, свойства «быть примитивным» и «быть простым кольцом с единицей» равносильны.
Строение примитивных колец в общем случае (без условия минимальности) было подробно изучено Джекобсоном. Каждое примитивное кольцо о может быть погружено в кольцо О линейных преобразований некоторого векторного пространства таким образом, что О окажется замкнутой оболочкой кольца г в некоторой вполне определенной топологии на С1). Здесь мы лишь
[) Джекобсон Н. Строение колец, гл. II.
§ 100]
ПРОСТЫЕ И ПРИМИТИВНЫЕ КОЛЬЦА
367
построим упомянутое векторное пространство и укажем вложение кольца о в кольцо О.
В этой конструкции важную роль играет кольцо эндоморфизмов произвольного о-модуля. Эндоморфизмы Ь произвольного о-модуля ЭЛ определяются как отображения модуля ЭЛ в себя, обладающие следующими свойствами:
Ь(и + о)==Ьи + Ьо, (2)
Ь(аи)=а(Ьи). (3)
Свойство (3) утверждает, что отображение Ь должно быть перестановочно с преобразованиями А того представления а*—* А, которое связано с модулем 3)1:
ЬА = АЬ для всех А.
Если модуль ЭЛ обладает областью правых операторов ?2, то, кроме (2) и (3), требуется еще
I («Р) = (Ьи) Р (4)
для всех р из ?2. Например, если ?2 — поле и ЭЛ — векторное пространство над этим полем, то свойства (2), (3) и (4) означают, что эндоморфизмы Ь являются линейными преобразованиями векторного пространства ЗЛ, перестановочными со всеми линейными преобразованиями А представления а.у-+А.
Если сумму и произведение эндоморфизмов определить в соответствии с § 45 равенствами
(Ь + М) и = Ьи + Ми,
(ЬМ) и = Е (Ми),
то эндоморфизмы образуют некоторое кольцо — кольцо левых эндоморфизмов модуля ЭЛ.
В дальнейшем часто будет целесообразно записывать эндоморфизмы как правые операторы Я, р, ..., а их произведение определять равенством
и (Яр) = (иЯ) р.
Тогда вместо (2), (3), (4) выполняются равенства
(и + V) Я = «Я + уЯ, (5)
(аи) Я = а (ыЯ), (6)
(ыР)Я —(ыЯ)Р для Рей. (7)
Правые эндоморфизмы точно так же составляют некоторое
кольцо — кольцо правых эндоморфизмов о-модуля ЗЛ. Когда в этом и следующем параграфах речь пойдет о кольце эндоморфизмов
некоторого модуля, будет постоянно подразумеваться кольцо правых эндоморфизмов. Оно инверсно изоморфно кольцу левых эндоморфизмов, т. е. каждому левому эндоморфизму Ь однозначно
368
АЛГЕБРЫ
[ГЛ XIII
сопоставляется правый эндоморфизм X так, что сумме Е + М соответствует сумма А + ц, а произведению ЕМ — произведение цА.
Кольцо эндоморфизмов простого ь-модуля является телом.
Конечно, кольцо эндоморфизмов имеет единицу, а именно — тождественный автоморфизм и Остается доказать, что каждый эндоморфизм А =4= О обладает обратным Аг1. Эндоморфизм X отображает модуль ЭЛ на некоторый подмодуль ЭЛА. Если X ф 0, то этот подмодуль не является нулевым, а потому должен совпадать с ЭЛ. Множество элементов, которые отображаются эндоморфизмом X в 0, является подмодулем в ЭЛ. Если Хф§, то этот подмодуль не есть ЭЛ, а потому он нулевой. Таким образом, эндоморфизм X отображает модуль ЭЛ изоморфно на себя. Но тогда он обладает обратным автоморфизмом А-1, что мы и хотели доказать.
Описанное тело К называется телом эндоморфизмов простого о-модуля ЭЛ. Так как единица I тела К является единичным оператором, то модуль Э.Л — векторное пространство над К. Элементы а кольца о в силу соотношений
а (и -ф и) = аи -ф ас, а (иХ) = (аи) X
порождают линейные преобразования А векторного пространства ЭЛ. Отображение а>—*? А является гомоморфизмом колец. Если представление точное, то си—»- А является изоморфизмом и кольцо и оказывается вложенным в кольцо О линейных преобразований векторного пространства ЭЛ.
Предыдущая << 1 .. 137 138 139 140 141 142 < 143 > 144 145 146 147 148 149 .. 247 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed