Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Варден Б.Л. -> "Алгебра " -> 150

Алгебра - Варден Б.Л.

Варден Б.Л. Алгебра — Наука , 1950. — 649 c.
Скачать (прямая ссылка): algebra1950.djvu
Предыдущая << 1 .. 144 145 146 147 148 149 < 150 > 151 152 153 154 155 156 .. 247 >> Следующая

Если аь .... а., — полные матричные кольца порядков щ, ..., ns соответственно над телами Ль ..., Д4 и если rv — ранг тела Av, а ЗД, — неприводимое представление, соответствующее левому
идеалу av, то ранг h алгебры г равен сумме рангов алгебр ах, ... ..., а4, т. е.
S
h = 2 nxrv; (6)
і
далее, степень представления ЗД согласно (5) равна
= nvrv. (7)
Наконец, алгебра av распадается на nv эквивалентных левых идеалов Iv, благодаря чему регулярное представление содержит представление ЗД как щ-кратную составляющую.
В частности, если все ЗД абсолютно неприводимы, то все
rv = l; тем самым (6) и (7) принимают более простой вид:
(8)
384
ТЕОРИЯ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ ГРУПП И АЛГЕБР
[ГЛ. XIV
§ 106. Представления центра
Центр алгебры о при любом неприводимом представлении должен отображаться на такие матрицы, которые перестановочны со всеми матрицами представления. Если основное поле алгебраически замкнуто и кольцо представляющих матриц — полное матричное кольцо, то матрицы центра состоят лишь из кратных единичной матрицы Е\ следовательно, центр алгебры о в этом случае представляется матрицами вида Еа. То же самое верно и для абсолютно неприводимых представлений, потому что в этом случае можно перейти к алгебраически замкнутому основному полю, не утрачивая неприводимости. Итак: при любом абсолютно неприводимом представлении алгебры о элементы ее центра представляются кратными единичной матрицы.
Если кольцо с коммутативно, и, следовательно, является своим собственным центром, то все матрицы абсолютно неприводимого представления имеют вид ЕпХ. Из неприводимости следует, что представления должны иметь первую сіепень. Итак: абсолютно неприводимые представления коммутативной алгебры имеют степень 1.
Любое представление первой степени алгебры о — это гомоморфное отображение из о в тело представления К. Если К коммутативно, то два эквивалентных представления первой степени просто равны, потому что если А = |а|| — матрица представления и Я —элемент поля К, то
Я 11 а || Я = ||Я_1аЯ | = [] а ||.
Отсюда следует утверждение: число неэквивалентных представлений первой степени коммутативной алгебры о в поле К равно числу различных гомоморфизмов из о в К.
Вернемся к некоммутативным алгебрам и предположим, что алгебра о полупроста. Тогда она является прямой суммой простых алгебр:
с — Лі -Г ... + ‘Ч,
и центр 3 алгебры о представляется в виде суммы того же числа полей:
3 = 3і + ••• + 3* (3^-центр в аЦ
Число неэквивалентных неприводимых представлений кольца о и равным образом его центра 3 равно числу 5 двусторонних компонент в о или в 3. потому что каждое такое представление кольца г определяется некоторым левым идеалом в а%, а каждое неприводимое представление Ту центра 3 определяется полем Зу-Итак: существует столько же неэквивалентных неприводимых представлений кольца г, сколько неприводимых неэквивалентных представлений центра 3, и каждому неприводимому представлению Ту
§ 1061
ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ЦЕНТРА
385
кольца о, при котором все ах а*, кроме ау, переходят в нуль, можно сопоставить представление XX центра 3, при котором все Зъ • • • 1 Зу кроме Зу переходят в нуль.
В частности, если о —сумма полных матричных колец над Р, то поля & имеют ранг 1 и изоморфны Р; тем самым в данном случае число 5 неприводимых представлений кольца о равно рангу центра 3- Связь между неприводимыми представлениями Х)у кольца о и неприводимыми представлениями (первой степени) центра 3 в рассматриваемом случае совершенно проста. Именно, представление XX переводит каждый элемент центра г в матрицу вида Еа, где Е — единичная матрица яу-го порядка. Каждому элементу г таким образом сопоставляется (при фиксированном V) некоторый элемент а, и можно записать:
а = ву(г).
Функция ©V определяет гомоморфизм центра, т. е.
©V (у + 2) = 0у(у) + ©„ (г),
©V (г/г) = 0У (у) 0У (г),
0У (гр) = 0у(г)-р.
При этом гомоморфизме поля Зъ •••. 3*. за исключением 3У. представляются нулем, т. е. гомоморфизм 0У —это не чго иное, как обозначавшееся раньше через XX представление первой степени центра.
Представление 0У задано всякий раз, когда задан Р-базис
модуля Зу. а в качестве последнего можно взять единичный элемент ву поля Зу Если каждый элемент 2 из 3 записать в виде
5
2=^еуРУ, (1)
V = 1
то получится
гву = ХРу = ?уРу5 тем самым Еру будет представляющей матрицей, т. е.
©V (2) = Р„.
Вместо (1) мы можем теперь писать
5
г= 2 <?у©у(г). (2)
У = 1
Иначе говоря: коэффициенты 0У (г) разложения элемента г центра по идемпотентным элементам ву того же центра задают гомоморфизмы или представления первой степени этого центра.
Задача 1. Число представлений первой степени коммутативной алгебры о над алгебраически замкнутым расширением поля Р равно рангу алгебры ец/Э( над Р, где М —радикал кольца ой.
386
ТЕОРИЯ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ ГРУПП И АЛГЕБР
[ГЛ. XIV
Задача 2. Если К —поле, являющееся расширением поля Р, то число представлений первой степени поля К над Й равно редуцированной степени поля К над полем Р. Равенство Э! = {0) имеет место тогда и только тогда, когда поле К сепарабельно над полем Р.
Предыдущая << 1 .. 144 145 146 147 148 149 < 150 > 151 152 153 154 155 156 .. 247 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed