Алгебра - Варден Б.Л.
Скачать (прямая ссылка):
Центр алгебры Д = Кг равен центру Z тела К. Поэтому спра-ведлиго следующее предложение:
Если центр Z алгебры 'Д = сепарабелен над Р, то алгебра ДхЛ полупроста. Если алгебра Д центральна над Р, т. е. Z = = Р, то алгебра ДхЛ проста, как бы ни выбиралось тело Л.
Из добавления к редукционной теореме следует, что последний результат имеет место и для тел Л бесконечной степени над Р.
4. Любая полупростая алгебра Д является суммой простых алгебр Д\ Д", ... Если каждое из слагаемых умножить на Л, то получится произведение ДхЛ. В частности, выберем в качестве Л поле; тогда получится следующее предложение:
Полупростая алгебра остается полупростой при любом сепарабельном расширении основного поля. Если центры простых алгебр Д', Д", ... сепарабельны над Р, то полупростота сохраняется при любом расширении основного поля.
5. Мы видели, что поведение простой алгебры при расширении основного поля полностью зависит от поведения лежащего в основе этой алгебры тела. Исследуем теперь поведение центральных алгебр с делением несколько подробнее.
Согласно доказанному в п. 3, любая центральная алгебра с делением при любом расширении основного поля остается центральной и простой. При этом она не обязана оставаться телом, а может перейти в некоторое матричное кольцо над телом. В этом случае мы говорим, что расширение основного поля приводит к разложению алгебры с делением (а именно — к разложению на простые левые идеалы).
Покажем теперь, что: если К Ф Р — центральная алгебра с делением, то всегда существуют расширения основного поля, которые приводят к разложению данной алгебры.
Действительно, пусть р —элемент тела К, не принадлежащий полю Р; тогда некоторый неразложимый многочлен ср (х) из Р [х] обращается в нуль на |3. В подходяще выбранном поле Л многочлен ф (х) разлагается на множители; например, можно выбрать Л^Р(Р), и тогда от ф(х) в Л отщепится линейный множитель.
§ 103]
ПОВЕДЕНИЕ АЛГЕБР ПРИ РАСШИРЕНИИ ПОЛЯ
377
В соответствии с доказанным выше имеет место изоморфизм Лх X Р (Р) [х]/(ф (а)); поэтому кольцо ЛхР(Р) имеет делители
нуля и, следовательно, таковые имеются в кольце Ах К, содержащем кольцо ЛхР(Р). Значит, кольцо ЛхК не явтяется телом, так что оно может быть только матричным кольцом с г'>\.
Если сравнить ранги левой и правой частей равенства КхЛ = = К ’г' над полем Л, то получится:
(К : Р) = /?'*• (К' : Л),
где через (К : Р) обозначается ранг тела К над полем Р.
Таким образом, ранг тела К' над Л меньше, чем ранг тела К над Р. Если К' Ф Л, то дальнейшим расширением поля Л можно получить и разложение тела К'. Кольцо К, перейдет тогда в матричное кольцо порядка г'г". Продолжая таким образом, мы непременно придем к концу, потому что ранги получающихся тел все время уменьшаются. В итоге произойдет полное разложение и алгебра с делением К превратится в матричное кольцо над полем Л:
КхЛд^Лт.
Поле Л, благодаря которому получается этот изоморфизм, называется полем разложения тела К. Приведенное выше доказательство показывает, что всегда существует поле разложения конечной степени над Р. Последнее соотношение между рангами превращается теперь в равенство
(К : Р) = т\
Таким образом, ранг алгебры с делением К над ее центром Р всегда является квадратом натурального числа. Число т — порядок матриц над полем разложения — называется индексом алгебры с делением К.
Поле разложения тела К является полем разложения и алгебры К,-, и наоборот, потому что К X А и X Л являются полными матричными кольцами над одним и тем же телом.
Задача 1. Произведение двух простых алгебр над Р, одна из которых центральна, является простым. Если центральны обе алгебры, то центрально и их произведение
Задача 2. Алгебраически замкнутое расширение О поля Р является полем разложения для всех центральных простых алгебр над Р.
Глава четырнадцатая
ТЕОРИЯ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ ГРУПП И АЛГЕБР
§ 104. Постановка задачи
Пусть © — произвольная группа. Под представлением группы © над полем К понимается любой гомоморфизм групп, который каждому элементу исходной группы а сопоставляет линейное преобразование А некоторого «-мерного векторного пространства над К (или, что по существу равносильно, некоторую «-строчную матрицу А). Размерность п называется степенью представления. Представление называется точным, если оно является изоморфизмом.
Точно так же под представлением произвольного кольца о над полем К понимается гомоморфизм колец а <—>- А, где А — вновь линейное преобразование «-мерного векторного пространства. Это определение совпадает с определением из § 87. Еще тогда было показано, что каждому представлению кольца о над полем К соответствует двойной модуль ЭЛ (на который о действует слева, а К — справа), названный модулем представления, и наоборот; каждый такой модуль представления задает некоторое представление. Изоморфным модулям представления соответствуют эквивалентные представления, и наоборот. Представление называется приводимым, если модуль представления обладает собственным ненулевым подмодулем, и неприводимым, если соответствующий модуль представления прост.
