Алгебра - Варден Б.Л.
Скачать (прямая ссылка):
<16! = ^, ..., ает = 1т, aem+1 = {°b я<г„ = {0}. (4)
Тогда Ij, ..., \т содержатся в а и поэтому в а содержится также идеал ^-{-[т. Каждый элемент а идеала а представляется в виде
а = ае = ае1 +... + аеп.
В этой сумме слагаемые аетп, ..., аеп равны нулю, а потому она сводится к
а — ое^ -}-••• -f- ает.
Следовательно, a s ^ +... + \т и
я = + .. . + 1ш> (5)
или словами:
Каждый двусторонний идеал я является суммой некоторых идеалов U.
Для идеалов [,-, входящих в формулу (5), имеют место равенства
Л[; = Яре,- = яе,- =
а для \к, не входящих в формулу (5), справедливы равенства
яГ* = лее* = ае* = {0}.
Таким образом, идеалы (,-, входящие в формулу (5), характеризуются тем, что идеал я их не аннулирует:
я[г Ф {0}.
Если идеал (; обладает этим свойством, то и все идеалы Г, операторно изоморфные идеалу тоже им обладают: аГ =5^= {0}. Поэтому в (5) входят все идеалы [, изоморфные идеалу 1г.
364
АЛГЕБРЫ
[ГЛ. XIII
Пусть, скажем, идеалы I,, ..., изоморфны идеалу (х,
а остальные идеалы нет. Тогда утверждается:
Идеал а1 = [1 + ... + 1г двусторонний.
Доказательство. Для произвольного элемента Ь ео имеем: аф = афе = лх <фех + • • • + Ьеп) ^
Е (лх6ех, ..., <хфв?, ..., лфеп) е (1Х, ..., 1^-, О, ..., 0) = лх.
Следовательно, лх является правым, а потому и двусторонним идеалом.
Этим способом из каждого класса попарно изоморфных идеалов 1у можно построить двусторонний идеал лх. Пусть лх, а2, ... ..., а,- —так построенные идеалы.
Каждый двусторонний идеал а является суммой вида (5), и если эта сумма содержит какой-либо идеал [г, то в нее должны входить и все идеалы I,-, изоморфные идеалу [г. Отсюда следует утверждение:
Каждый двусторонний идеал является суммой некоторых из двусторонних идеалов лх, ..., V. Последние являются минимальными двусторонними идеалами. Кольцо о является прямой суммой идеалов л*:
о = ах + • ? • + V. (6)
Последнее утверждение следует непосредственно из (3).
В силу § 91 идеалы л,- являются кольцами, аннулирующими друг друга:
Л/Л* = {0} для 1'#&. (7)
Из (6) и (7) вытекает, что каждый левый или правый идеал
кольца V является также левым или правым идеалом кольца л.
Для левых идеалов I доказательство проводится так:
о1 = (лх + ... + а,Н^
— Слх^, ..., л,/) =
— (0, • • ?, ад ..., 0) = Г,
а для правых идеалов — аналогично. Следовательно, каждый двусторонний идеал в лг является двусторонним идеалом в о. Однако, так как лг — минимальный двусторонний идеал, в л; не существует двустороннего идеала, отличного от л* и от {0}. Таким образом, каждый идеал л; является простым кольцом с единицей е1. Мы получили в итоге следующую теорему:
Теорема 15. Любое полупростое кольцо о с условием минимальности для левых идеалов является прямой суммой простых колец с единицей.
Для алгебр о теоремы первой половины § 96 принадлежат Веддерберну.
Исследуем теперь строение простых колец с единиц'ей.
§ 1001
ПРОСТЫЕ И ПРИМИТИВНЫЕ КОЛЬЦА
365
§ 100. Простые и примитивные кольца
Пусть о — простое кольцо с правой единицей е:
ае = а для всех а. (1)
Равенство (1) утверждает, что нулевой идеал является модулярным левым идеалом. Согласно § 96 (теорема 3) существует модулярный максимальный левый идеал 2 Ф о. Модуль классов вычетов о/2 является простым и дает неприводимое представление. Ядро этого представления— двусторонний идеал ф, который в соответствии с § 96, равенство (5), содержится в 2 и не равен о. Так как о —простое кольцо, должно иметь место равенство '.$ = {0}, т. е. представление, соответствующее модулю о/2, является точным.
Кольцо, обладающее точным неприводимым представлением, называется примитивным. Таким образом, имеет место
Теорема 16. Простое кольцо с единицей примитивно.
Выясним, верно ли обратное утверждение.
Пусть о — примитивное кольцо и ЭЯ — простой о-модуль, соответствующий некоторому точному представлению кольца о. Пусть « — произвольный элемент модуля ЭЛ, не аннулируемый кольцом о. Тогда о« — подмодуль в ЭЛ, отличный от нулевого, а потому равный самому модулю ЭЛ. Отображение х>—*-хи определяет некоторый гомоморфизм из с на 3)1, ядро которого является левым идеалом 2 кольца с>. Модуль классов вычетов о/8 изоморфен модулю 3)1, а потому является простым, т. е. 2 — максимальный идеал. Так как оц = ЭЛ, то элемент и должен иметь вид си:
и — си.
Отсюда следует, что аи = аси для всех а изо. Таким образом, отображение XI—*-хи переводит элементы а и ас в один и тот же элемент модуля 3)1. Отсюда:
а == ас (2),
т. е. идеал 2 модулярен.
Благодаря изоморфизму ЭЛ ^ёо/2 представление, соответствующее модулю ЭЛ, эквивалентно представлению, соответствующему модулю о/2. Ядром этого представления является двусторонний идеал
= 2 : о.
Поскольку рассматриваемое представление точное, должно иметь место равенство ф = {0}. Согласно § 96 (теорема 1) радикал 31 кольца о содержится в ф, а потому 31 — {0}, т. е. кольцо о полу-просто. Итак, доказана
Теорема 17. Примитивное кольцо полупросто.
366
АЛГЕБРЫ
[ГЛ. XIII
В первой части доказа1ельства точность представления не использовалась. Использовалось лишь то, что модуль ЭЛ прост и не все элементы модуля ЭЛ аннулируются кольцом о. Поэтому для любых колец верна
