Алгебра - Варден Б.Л.
Скачать (прямая ссылка):
о, = ае{. (12)
Г. Сумма
e = e1-j-...-j-en (13)
является единицей кольца с.
Доказательство. Так как идеал 2, модулярен, существует элемент с, кольца с со свойством
ас, = а(8,) для всех а. (14)
Разложим теперь элементы с, в соответствии с (10):
cl = ei + fi. (15)
Отсюда для act получается разложение:
ас, = ас,+ а/,. (16)
Из сравнения (14) следует, что ас, и а имеют одни и те же I,-компоненты. Согласно (16) это означает, что
а, = ос,. (17)
Тем самым доказано (12). Если а пробегает кольцо г, то а, пробегает весь идеал поэтому
1/ = ее,. (18)
Положим в (17) а —ер тогда получится, что
ei=el (19)
Положим в (17) а = е*; получим
0 = е*е, (k^i). (20)
Тем самым доказаны утверждения А, Б и В.
Если в обозначениях (13) положить
е = е1-\-.. .-\-еп, (21)
то в силу (17) получится равенство
ае = acj -J- аеп = at —... —{— а„ = а, (22)
т. е. е — правая единица кольца о. Таким образом, остается дока-
зать, что е является и левой единицей.
КОЛЬЦА С УСЛОВИЕМ МИНИМАЛЬНОСТИ
361
Элементы а — еа образуют правый идеал г. Для произвольного Ъ имеет место равенство Ье = Ь, поэтому
Ь (а — еа) = Ьа — Ьеа = Ьа — Ьа = 0.
В частности,
(а — еа)2 = 0.
Таким образом, г —нильидеал и в силу теоремы 6 он содержится в радикале, а потому равен нулю. Тем самым для всех элементов а имеет место равенство
а — еа —0,
т. е. е — левая единица.
Кольцо, являющееся вполне приводимым как левый модуль, т. е. представимое прямой суммой простых левых идеалов, называется вполне приводимым слева. Теоремы 11 и 12 мы можем теперь объединить в следующей формулировке:
Любое полупростое кольцо с условием минимальности для левых идеалов является вполне приводимым слева и обладает единицей.
Эта теорема имеет обращение:
Теорема 13. Любое вполне приводимое слева кольцо с правой единицей является полупростым и удовлетворяет условию минимальности для левых идеалов.
Доказательство. Пусть
о = [х -|-... -Т 1п (23)
— разложение кольца о на простые левые идеалы и пусть 2г — сумма всех (;, за исключением [;. Тогда ^ (; и, следовательно, ?,• — максимальный идеал. Если е — правая единица кольца о, то ае = а для всех а и, следовательно, 8,-— модулярный идеал. В силу § 92 идеал {0} является пересечением идеалов а потому о полупросто.
Согласно § 53 кольцо о обладает композиционным рядом длины п. В силу § 51 любой левый идеал [ можно включить в некоторый композиционный ряд. Участок этого композиционного ряда от I до {0} имеет длину т^п\ число т называется длиной идеала (. Любой собственный подидеал V идеала 1 имеет меньшую длину, потому что и ( и Г можно включить в некоторый композиционный ряд. В каждом (непустом) множестве левых идеалов существует левый идеал 1" наименьшей длины. Он является минимальным в данном множестве, так как любой идеал Г", собственным образом в нем содержащийся, имел бы меньшую длину. Следовательно, для левых идеалов кольца о выполнено условие минимальности.
362 АЛГЕБРЫ [ГЛ XIII
§ 99. Двусторонние разложения и разложение центра
В § 98 мы исследовали разложения в прямые суммы левых идеалов произвольного кольца о, подчиненного естественным требованиям; теперь мы намерены выяснить, что можно сказать о разложениях в сумму двусторонних идеалов.
Теорема 14. Если кольцо о с единицей представимо в виде прямой сумчы прямо неразложимых двусторонних идеалов, отличных от нулевого идеала:
о = ах+а„, (1)
то эти идеалы аг определены однозначно.
Доказательство. Если имеется какое-то второе разложение
С = <1 + • • ? + с/я>
то
<1 — • • • >
Сумма справа является прямой, так как
ДхС^ ? ..., а„С1 Е дл.
Но так как идеал Сх прямо неразложим, то произведения дгСх должны быть равны нулю, кроме какого-то одного, скажем, а^. Таким образом,
с'1 = а1с1 е Дх-
Точно так же показывается, что и наоборот, Дх содержится в одном из с;, так что
с,- Е Й! Е и\
отсюда следует, что 1 = 1 и С] = а,. Таким образом, каждый идеал сг совпадает с некоторым из идеалов а,-.
Для односторонних разложений в прямые суммы такая однозначность места не имеет.
Докажем теперь следующее:
Если кольцо является прямой суммой двусторонних идеалов а,-, то центр 3 кольца о является прямой суммой центров 3( колец а,-:
3 =31 + - • - + 3я-
Доказательство. Пусть г = гх + ... + гп — произвольный элемент центра и х = х1 + .. .-\-хп — произвольный элемент из о. Тогда гх = хг\ поэтому
^1-^1 'С ? • ?' г ^пхп = х^1 ! •.. { хг.хп• (2)
Отсюда следует, что :/=Х/2/ для всех х{ из а,- т. е. г/ лежит в центре кольца Д/. Обратно: если каждый элемент гг лежит
ДВУСТОРОННИЕ РАЗЛОЖЕНИЯ
363
в центре кольца л*, то равенство (2) выполняется для всех х и zx = xz, так что z лежит в центре кольца р.
Утверждения, которые мы рассматривали до сих пор, справедливы в произвольных кольцах р. Теперь же мы предположим, что кольцо р полупросто и удовлетворяет условию минимальности для левых идеалов. В этом случае р вполне приводимо слева:
о = -f-... ~Т \п (3)
и обладает единицей:
e = ?l + . . . + е„ (в/ ? (г).
Если а — произвольный двусторонний идеал, то каждое произведение ав{ является лежащим в (г левым идеалом; поэтому оно равно либо Г,-, либо {0}. Идеалы [г можно расположить в таком порядке, чтобы выполнялись равенства
