Алгебра - Варден Б.Л.
Скачать (прямая ссылка):
Таким образом, рассматриваемые модули являются двойными
(на них о действует слева, а й —справа).
Будет подразумеваться, что подмодули данного модуля ЭЛ всегда допустимы, т. е. таковы, что допускают в качестве операторов элементы из о и й. Модуль ЭЛ, не имеющий подмодулей, за исключением себя самого и модуля {0}, называется простым, или минимальным. Кольцо о называется простым, если оно является простым как двойной модуль, для которого само о служит областью левых и правых операторов (и, возможно, дополнительной областью операторов является й), т. е. если о не содержит никаких допустимых двусторонних идеалов, кроме себя самого и {0}.
Умножение элементов модуля ЭЛ на фиксированный элемента кольца о дает некоторый эндоморфизм А й-модуля ЭЛ:
аи — Аи. (8)
Таким образом, каждому элементу а кольца о соответствует некоторый эндоморфизм А. Произведению элементов аЬ соответствует произведение эндоморфизмов АВ, а сумме а-\-Ь — сумма АВ, которая определяется равенством
(А-\-В)и = Аи-\-Ви. (9)
Следовательно, отображение а>—А является гомоморфизмом колец. Определим теперь эндоморфизм АЗ для Рей формулой
(Лр) и = (Аи) Р; (10)
тогда произведению ар будет соответствовать произведение А р. Поэтому гомоморфизм колец он-» А является одновременной операторным гомоморфизмом относительно й. Гомоморфизм колец с этим свойством называется представлением кольца о (эндоморфизмами й-модуля ЭЛ).
Мы видели, что каждый двойной модуль ЭЛ (для которого о —область левых, а Й —область правых операторов) приводит к некоторому представлению кольца о. Если же, наоборот, задано представление а >—*? А кольца о эндоморфизмами некоторого й-модуля ЭЛ и с помощью (8) определены произведения аи, то модуль ЭЛ будет двойным с областью левых операторов о и с областью правых операторов й.
Если о —алгебра над основным полем й, т. е. является векторным пространством над Й, то, как правило, ограничиваются лишь модулями ЭЛ, являющимися векторными пространствами над й; в таких модулях единичный элемент из й является еди-
М\ЛЫЙ И БОЛЬШОЙ РАДИКАЛЫ
351
ничным операюром. В этом случае эндоморфизмы являются линейными преобразованиями векторного пространства ЭЛ, и мы имеем дело с представлениями кольца о линейными преобразованиями.
Ядро гомоморфизма а*—* А состоит из тех элементов а, для которых аЗЛ = {0}, т. е. ядро является двусторонним идеалом {0}: 3)1. Если ядро —нулевой идеал и гомоморфизм является изоморфизмом, то представление называется точным.
Представление а >—* А называется (как и в § 87) приводимым, если модуль представления 3)1 обладает подмодулем ЭЕ отличным от {0} и 3)1. Если такого подмодуля нет, то модуль ЭЛ прост, и представление а\—-А называется неприводимым.
Если модуль ЭЛ является вполне приводимым в смысле § 53, т. е. равен прямой сумме простых модулей, то и представление называется вполне приводимым. Вид матриц приводимого и вполне приводимого матричных представлений был описан в § 87 с помощью формул (4) и (7).
Два представления кольца с называются эквивалентными, если они связаны с изоморфными двойными модулями. В случае конечномерных векторных пространств это означает, что при соответствующем выборе базисов матрицы обоих представлений совпадают.
Несмотря на простоту этих связей, их значение очень велико для описания строения алгебр и теории представлений алгебр. Уже в § 93, пример 2, мы получили представление кватернионов двустрочными матрицами, при котором сама алгебра кватернионов ?( рассматривалась как двойной модуль (с областью левых операторов 'Л и областью правых операторов 2).
§ 96. Малый и большой радикалы
Идеал а (левый или правый) называется нильпотентным, если некоторая его степень ат является нулевым идеалом. Имеет место
Лемма 1. Сумма (а, Ь) двух нильпотентных левых идеалов нильпотентна.
Доказательство. Пусть а"! = Ь'г — {0}. Если вычислить идеал (а, Ь)тлп~1, то получится сумма произведений из т-\-п — 1 множителей, которыми являются а или Ь. В любом таком произведении либо множитель а встречается по крайней мере т раз, либо множитель Ь встречается п раз. В первом случае произведение имеет вид
... а ... а ... а ... ,
где л встречается не менее, чем т раз. Так как оа Е л, из сказанного следует, что
... л ... л ... л ... ел"' ... = {0}.
352
АЛГЕБРЫ
[ГЛ XIII
Второй случай рассматривается аналогично. Тем самым произведения равны нулю и
(a, b)mJ»-1 = {0}.
Лемма 2. Каждый нилыготентный левый (или правый) идеал содержится в двустороннем нильпотентном идеале.
Доказательство. Пусть [ —нильпотентный левый идеал: Iя = {0}. Тогда нильпотентен и идеал (с:
([р)я = г (с1)я 1 о S ип 1 о = ("о = {0}.
Порожденный идеалом ( правый идеал ([, (с) в соответствии с этим является суммой двух нильпотентных левых идеалов, а потому и сам он будет нильпотентным левым идеалом; следовательно, этот идеал является двусторонним и нильпотентным.
Под малым радикалом 9t кольца о мы подразумеваем объединение всех нильпотентных двусторонних идеалов. Согласно лемме 2 в этом объединенном множестве лежат все левые и все правые нильпотентные идеалы. Поэтому малый радикал 9t можно определить и как объединение всех нильпотентных левых (или правых) идеалов. Можно также сказать: элемент а лежит в 41, если а порождает нильпотентный левый (или правый) идеал.
