Алгебра - Варден Б.Л.
Скачать (прямая ссылка):
«5= 2 итут. (16)
Тфв
Умножая (16) справа на рх, получим
ы5р5=Е«777-Р5. (17)
т
С другой стороны, умножая (16) на р слева, получим в силу (11), что
(18)
т
Сравнение (17) и (18) показывает, что ввиду линейной независимости элементов ит имеет место равенство
РгУг = УгР‘ь>
или
Уг(Г-Р5) = 0. (19)
Так как мы можем взять элемент Р такой, что
рг ^рз. Тогда из (19) следует, что уг = 0. Это верно для всех Т, входящих в (16), а потому и8 — 0. Из (12) следует теперь, что и5т = 0 для всех Т, т. е. все элементы и8 равны нулю, что и требовалось доказать.
Из доказанной выше теоремы получается такое следствие:
Алгебра 21 является простой, т. е. в ней нет двусторонних идеалов, отличных от нее самой и от {0}.
Действительно, если т — произвольный двусторонний идеал в 21, то 21/т является кольцом, в котором классы вычетов й$ удовлетворяют равенствам (11) и (12), а потому они или все равны нулю или линейно независимы над полем 2. В первом случае т = 21, а во втором т = {0}.
Объединяя все это, заключаем:
Скрещенное произведение 21 является центральной простой алгеброй над полем Р.
4. Циклические алгебры. Если группа Галуа © циклическая, то соответствующее скрещенное произведение 21 называется циклической алгеброй. В этом случае все элементы Г из © являются степенью порождающей 5:
П = 5* (* = 0, 1, ..., п- 1) и все элементы иТ можно выбрать как степени элемента иЕ'
И7- = (и5)* (* = 0, 1, .... п-1). (20)
Такой выбор элементов ит находится в согласии с условием, согласно которому иЕ выбирается как единичный элемент
340 АЛГЕБРЫ [ГЛ XIII
алгебры 'Л:
«А = («5)и =- е.
п-я степень элемента и3 является произведением [п— 1)-й степени и первой степени. Отсюда в силу (12) следует, что
(%)я = еб, (21)
где б —некоторый элемент поля 2. Этот единственный элемент определяет всю систему факторов, так как дтя 1фк<^п имеет место равенство
(ы5)' (и5у = (и3у+к,
а для г -)- & ;>= п — равенство
(И5)' • («5)" = {и8)М-П ? (и3)п = (и5У+к'п • б.
Таким образом, факторы 8Г, н равны 1 или б в зависимости от того, будет ли в выражениях Т = 5‘ и = сумма показателей ?~|-& меньше « или нет.
Умножим (21) слева или справа на и5; тогда получим
(ы5)Л11 =? и3 б = 6%.
Отсюда в силу (11)
б = б3.
Тем самым, элемент б инвариантен относительно группы ©, а потому лежит в поле Р. Но если это так, то выполнены все условия ассоциативности (13). Поэтому элемент б не подчинен никаким условиям, кроме двух естественных: б#0 и 6еР.
Если выразить и3 через и5 = и3у, то получится:
(у5)л = («5у) (%у)... (и3у) = (и3)п • уу^2 ... \
Произведение всех элементов, сопряженных с у, является нормой элемента у над полем Р. Поэтому
(и5)п = ее, где е = бМ(у). (22)
Мы доказали утверждение:
Циклическая алгебра 21 полностью определяется как скрещенное произведение циклического поля 2 с его группой Галуа © заданием одного-единственного элемента 8 ФО из основного поля Р. Не изменяя алгебру 21, этот элемент 8 можно умножать на норму любого элемента у Ф 0 поля 2.
Следуя Хассе, циклическую алгебру 21 обозначают символом (б, 2, 5).
Если в качестве Р взять поле характеристики, отличной от 2, а в качестве 2 — квадратичное расширение Р (]/ — а) и затем положить 6=—• р, то в качестве соответствующей циклической
АЛГЕБРЫ КАК ГРУППЫ С ОПЕРАТОРАМИ
347
алгебры получится алгебра обобщенных кватернионов из примера 2.
Несмотря на столь простую структуру, циклические алгебры являются очень общими конструкциями. Брауэр, Хассе и Нётер (J. reine ц. angew. Math., 167, S. 399) доказали «основную теорему», гласящую: любая центральная алгебра с делением над полем алгебраических чисел конечной степени является циклической.
Задача 1. Центр кольца является кольцом.
Задача 2. Полное матричное кольцо Р„ является центральной простой алгеброй над полем Р.
Задача 3. Если все факторы т равны 1, то скрещенное произведение поля 2 с группой G> является произведением поля 2 с групповым кольцом группы G>.
§ 95. Алгебры как группы с операторами.
Модули и представления
Произвольная алгебра 21 как абелева группа отностительно сложения обладает двумя областями операторов:
Во-первых, это —поле Р. Инвариантные относительно этой области операторов подгруппы являются линейными подпространствами.
Во-вторых, это —сама алгебра 21, элементы которой рассматриваются как левые или правые операторы. Инвариантные относительно этой области операторов подгруппы являются левыми идеалами, правыми идеалами и двусторонними идеалами.
Раз и навсегда мы договоримся сейчас о том, что при рассмотрении (левых, правых или двусторонних) идеалов в алгебрах поле Р считается областью операторов. Это означает, что в качестве допустимых левых идеалов рассматриваются лишь такие подгруппы, которые вместе с каждым элементом а содержат не только все произведения га (г принадлежит 21), но и все произведения a? (? принадлежит Р); аналогичный смысл имеет сделанное утверждение и для правых идеалов. Таким образом, допустимы лишь такие идеалы, которые одновременно являются и векторными подпространствами. Точно так же два левых идеала операторно изоморфны лишь тогда, когда существует изоморфизм ai—?<3, при котором га переходит в гй, а a? — в ??. Левый идеал называется простым или минимальным, если он не содержит допустимых идеалов, отличных от нулевого и себя самого.
