Алгебра - Варден Б.Л.
Скачать (прямая ссылка):
Для идеалов алгебры, подчиненных такому ограничению, выполняются условия максимальности и минимальности:
Каждое непустое множество идеалов (правых, левых или двусторонних) содержит (по крайней мере) один максимальный идеал, т. е. такой идеал, который не содержится ни в каком другом
348
АЛГЕБРЫ
[ГЛ ХП1
идеале данного множества, и один минимальный идеал, т. е. идеал, не содержащий ни одного другого идеала данного множества.
Это утверждение справедливо, так как в силу приведенного выше соглашения каждый идеал является одновременно и векторным подпространством, а в любом непустом множестве линейных пространств размерности существуют пространства
наибольшей размерности и наименьшей размерности.
Чтобы получить основные теоремы теории алгебр при достаточно общих предположениях, мы будем на протяжении этой главы рассматривать не алгебры, а произвольные кольца о, в которых, в зависимости от потребностей, будет считаться выполненным условие максимальности или минимальности для левых или правых идеалов. Кольцо о может быть наделено областью операторов ?2 (играющей тут роль поля Р), элементы которой р, у, ... обладают следующими свойствами:
(а + b) р==ар + бр, (1)
(а&)р = (а(3)& = а(&(3). (2)
Если задана такая область операторов, то понятие идеала ограничивается следующим требованием: вместе с каждым элементом а идеал содержит и все элементы a|S (Р принадлежит Q). Когда нам будет нужно подчеркнуть наличие этого условия, мы будем говорить о допустимых правых или левых идеалах. Только для них будет требоваться выполнение условия максимальности или минимальности.
Следует выяснить, какие из конструкций теории идеалов — суммы, произведения и т. д. —имеют смысл для некоммутативных колец с областью или без области операторов. Прежде всего, ясно, что пересечение и сумма двух допустимых правых или левых идеалов вновь являются допустимыми правыми или соответственно левыми идеалами. Произведение а ? Ь (множество всех сумм ?ab, aea, fee b), как это можно заметить непосредственно, является допустимым правым идеалом, если таковым является правый сомножитель, и допустимым левым идеалом, если таковым является левый сомножитель. Второй множит ель в этом случае может быть совершенно произвольным множеством или просто некоторым элементом из г; например, рЬ — это множество всех произведений ра (а е Ь), являющееся правым идеалом, если Ь — правый идеал.
Если а — левый идеал и с — произвольное множество кольца с, то можно определить левое частное а: с как множество тех х из ' о, для которых
хс ?= а.
Левое частное является левым идеалом, потому что из хс да и ус ? а следует, что (х — у) с ? а и из хс s а следует, что гхс ? га s « для любого г из о, Если а и с оба являются левыми
АЛГЕБРЫ КАК ГРУППЫ С ОПЕРАТОРАМИ
349
идеалами, то а: с является даже двусторонним идеалом, потому что из хс?(1 следует, что лтсЕясеа. Аналогично можно определить правое частное двух правых идеалов, но нам это не потребуется.
Чтобы показать, насколько важно условие минимальности, мы докажем следующие теоремы:
Если о —кольцо с условием минимальности для левых идеалов, а —элемент из с, не являющийся правым делителем нуля, то в кольце о уравнение ха — Ь разрешимо для любого Ь.
Доказательство. В множестве левых идеалов ьап (п — = 1, 2, ...) должен существовать минимальный, скажем, тт. Так как оат+1 ?= оат и условие оат г1 с: сат невозможно, то ттЛ = оат. Следовательно, каждое произведение Ьат представимо в виде сат+1:
Ьат — сат1.
Отсюда после сокращения на т множителей а слева и справа получается равенство
Ъ = са,
т. е. уравнение ха = Ь разрешимо.
Точно так же доказывается: если о — кольцо с условием минимальности для правых идеалов и элемент а не является левым делителем нуля, то уравнение ах = Ь разрешимо.
Из этих двух теорем следует утверждение:
Если о — кольцо без делителей нуля с условием минимальности для левых и правых идеалов, то оно является телом.
В частности, каждая алгебра без делителей нуля является телом. Такие алгебры называются алгебрами с делением.
Задача 1. Для кольца с единицей рассмотренное выше ограничение понятия идеала, связанное с учетом Р или О как области операторов, несущественно: в этом случае каждый идеал допускает умножение на Р или на Й.
Задача 2. Необходимым и достаточным условием для выполнения условий минимальности и максимальности для левых идеалов кольца с является существование композиционного ряда из таких идеалов.
Кроме идеалов кольца о, мы рассматриваем также и о-модули и, в основном, такие модули 301, в которых мультипликаторы из о стоят слева. Эти модули называются левыми ь-модулями.
Если а, Ь, ... — элементы из о и и, и, ... — элементы из ЭЛ, то
будет считаться, что выполнены условия:
а (и + у) = аи + ас, (3)
(а + Ь) и = аи + Ьи, (4)
(аЬ)и-а(Ьи). (5)
Если кольцо о наделено областью операторов й, то мы требуем, чтобы Й была областью операторов и для ЭЛ (которые
350
АЛГЕБРЫ
[ГЛ XIII
в этом случае пишутся справа) и чтобы выполнялись правила:
(и + V) р = ыр + г>Р, (6)
(аи)Р = а(иР) = (аР)и. (7)
