Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Варден Б.Л. -> "Алгебра " -> 149

Алгебра - Варден Б.Л.

Варден Б.Л. Алгебра — Наука , 1950. — 649 c.
Скачать (прямая ссылка): algebra1950.djvu
Предыдущая << 1 .. 143 144 145 146 147 148 < 149 > 150 151 152 153 154 155 .. 247 >> Следующая

§ 105]
ПРЕДСТАВЛЕНИЯ АЛГЕБР
381
Для полу простых алгебр эта теорема утверждает, что каждое представление любой из них вполне приводимо, и что составляющие неприводимые представления входят в качестве неприводимых составляющих в регулярное представление. Неприводимые составляющие регулярного представления в соответствии с (1) связаны с простыми левыми идеалами (,?.
Любая полупростая алгебра о в соответствии с § 99 является прямой суммой простых алгебр civ:
о = йг + ... + о*. (4)
Алгебры av можно разлагать в свою очередь на минимальные левые идеалы Входящие в фиксированную алгебру av идеалы [( попарно изоморфны, а потому задают одно и то же представление. Идеалы I,-, содержащиеся в алгебре av, аннулируются каждой из алгебр йц при ц Ф v:
= {®Ь
Поэтому все эти алгебры представляются нулем в том представлении, которое соответствует идеалу lt. Лишь алгебра av будет представляться этим представлением точно. Действительно, ядро представления алгебры av является двусторонним идеалом в av, и так как av —простая алгебра, не вся представляющаяся нулем, ядро может быть только нулевым идеалом.
Мы рассмотрим теперь представление простой алгебры, которое связано с любым простым левым идеалом этой алгебры.
Простая алгебра о с единицей согласно § 102 изоморфна полному матричному кольцу над некоторым телом Д. Если cik — введенные в § 93 матричные единицы, которые там обозначались через Cik, то
0 = спД -|- с]2Д —1— ... сппД.
Минимальный левый идеал 1 будет задаваться равенством
1 = сиД -|-с21Д + ... -4-сл1Д.
Наконец, основное поле Р, над которым определено представление, содержится в центре тела Д, и Д имеет конечный ранг над Р.
Рассмотрим сначала случай Д = Р. Базис (сп, сп, ...,сп1) идеала I может служить для явного описания матриц представле-
П
ния. Если а— У) cikaik — элемент кольца о, то
t\ k = \
п п
OCk\ “ ^ikCkl^ik ”
!=} І = 1
тем самым в представлении, соответствующем идеалу I, элементу а сопоставляется матрица |a<A f. Следовательно, изоморфизм кольца о
382
ТЕОРИЯ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ ГРУПП И АЛГЕБР
[ГЛ. XIV
и полного кольца матриц |аг*| —это то самое неприводимое представление, которое соответствует минимальному левому идеалу [.
Примечательно, что в рассматриваемом случае А = Р представляемые матрицы образуют полное матричное кольцо я-й степени. Это же обстоятельство можно выразить и такими словами: среди представляемых матриц есть ровно я2 линейно независимых.
Пусть теперь А — собственное расширение конечной степени поля Р:
д = я,р +... +КР-
В этом случае мы прежде всего построим регулярное представление алгебры А над полем Р, при котором каждому элементу р из А сопоставляется матрица В с помощью равенства
= В = 11М-
Затем мы построим идеал
I = спД сщА =
= (С11^1.Р + • • • +си^/-Р) + • • • + (Сщ^Р + ... + СЛ]А,ГР).
Если с помощью этого базиса представить элемент алгебры о, то получится:
0 . . 0 . . 0
1 *" 0 . . В . . 0
0 . . 0 . . 0
где нули представляют г-строчные нуль-матрицы, а матрица В занимает место на пересечении &-го столбца и Сй строки. Суммируя, получаем отсюда:
^11 Сік&ік 1
Аи . • Аі п
АП1 • • Апп
(5)
где Аиг — опять-таки матрицы, соответствующие элементам а1к в регулярном представлении алгебры А.
Из вида неприводимого представления, соответствующего модулю I, можно понять, каким образом оно распадается при том или ином расширении основного поля Р до какого-то поля П. При таком расширении тело А переходит в систему Да=ДхП, а левый идеал I — сп А + ... +сл1Д — в
и
+Ся1Дьз.
Если кольцо Да приводимо и содержит собственный левый идеал I', то и 1а содержит собственный подидеал
§ 105]
ПРЕДСТАВЛЕНИЯ АЛГЕБР
383
Точно так же: если Ай распадается на левые идеалы Г, то идеал 1q распадается на то же число левых идеалов Следовательно: приводимость или разложение неприводимого представления кольца о, соответствующего идеалу I при расширении поля Р до поля Q, полностью определяется приводимостью или соответственно разложением алгебры Дд на левые идеалы.
Если Д=^Р, то согласно § 103 поле Q всегда можно выбрать так, чтобы алгебра Дд содержала делители нуля и, следовательно, не являлась телом, а содержала по крайней мере один собственный левый идеал. В таком случае неприводимое представление над полем Р, соответствующее идеалу I, будет приводимо над нолем Q. В случае Д = Р, наоборот, представление, соответствующее идеалу (, абсолютно неприводимо, т. е. остается неприводимым при любом расширении основного поля. Тем самым условие Д = Р является необходимым и достаточным для абсолютной неприводимости представления, заданного над Р.
Если алгебра г является не простой, а всего лишь полупро-стой, равной прямой сумме простых алгебр iij + ... + щ, и 1 — какой-нибудь левый идеал, скажем, av, то для описания представления произвольного элемента а из о, задаваемого идеалом I, нужно поступить так: сначала записать а в виде суммы а1-\- ... ... затем из этой суммы извлечь компоненту av и в соответ-
ствии с формулой (5) построить для элемента av матрицу. Остальные же компоненты аъ ..., ах,ъ ..., as аннулируют идеал 1 и поэтому представляются нулем.
Предыдущая << 1 .. 143 144 145 146 147 148 < 149 > 150 151 152 153 154 155 .. 247 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed