Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Варден Б.Л. -> "Алгебра " -> 155

Алгебра - Варден Б.Л.

Варден Б.Л. Алгебра — Наука , 1950. — 649 c.
Скачать (прямая ссылка): algebra1950.djvu
Предыдущая << 1 .. 149 150 151 152 153 154 < 155 > 156 157 158 159 160 161 .. 247 >> Следующая

(16)
К = 2 ev©v (ka) = 2 %v (а) .
(17)
V
V
ИЛИ
lr
398
ТЕОРИЯ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ ГРУПП И АЛГЕБР
[ГЛ XIV
§ 110. Представления симметрических групп1)
Мы рассматриваем группу подстановок п символов 1,2, , л; найдем
ее абсолютно неприводимые представления, например, над полем й всех алгебраических чисел Впрочем, будет показано, что эти представления рациональны, т е осуществляются над полем (Е) рациональных чисел.
Будем исходить из группового кольца о = -)- +аяй и рассмотрим его
левые идеалы Каждый такой левый идеал является прямой суммой минимальных левых идеалов, последние дают лишь неприводимые представления Так как каждый левый идеал порождается некоторым идемпотентным элементом, мы найдем сначала эти идемпотентные элементы
Запишем цифры 1, 2, . , п в произвольном порядке в й расположенных
друг за другом строк (й произвольно) так, чтобы в у-й строке ау цифр удовлетворяло условиям
Мы пишем первые элементы всех й строк друг под другом, точно так же и вторые элементы и т д , следующий ниже пример, в котором точки означают цифры, поясняет сказанное
Любое такое расположение цифр 1, 2, .., п мы будем называть схемой и обозначать через 2а Индекс а обозначает последовательность цифр (а!, а2, , ад) Индексы а, которые могут появиться при этом, упорядочиваются
следующим образом. а>р, если гервая ненулевая разность av — положительна Например, при п = 5
(5) >(4, I) > (3, 2) > (З, 1, 1) > (2, 2, 1) > (2, 1, 1 1) > (1, 1, 1, 1, 1).
Пусть дана такая схема 2а; обозначим через р все подстановки, которые меняют цифры лишь внутри строк схемы 2а, а сами строки оставляют инвариантными; через д обозначим все те подстановки, которые меняют цифры лишь внутри столбцов схемы 2а Для каждой фиксированной подстановки д символ (Уд обозначает 4 1 или —1 в зависимости от того, четна д или нет Если 5 — произвольная подстановка, то через $2П мы обозначаем схему, в которую переходит 2а при действии подстановки я. Легко заметить, что если подстановка д оставляет инвариантными столбцы схемы 2а, то подстановка їд^-1 оставляет инвариантными столбцы схемы 52а, и наоборот Наконец, положим (в групповом кольце с) для каждой фиксированной схемы 2а
(1)
(ах, а2, а3) = (3, 2, 2); п = 7.
—У Р’
Р
Аа=^доч.
Легко проверяются правила-
pSa — Sap — Sa,
= чАаОд = Aa.
C4
(3)
!) Упрощенными доказательствами предложений теории Фробениуса (см. Sitzungsber. Preuss Akad. Berlin, 1903, S. 328—358), помещенными в этом параграфе, я обязан устному сообщению фон Неймана.
§ ПО]
ПРЕДСТАВЛЕНИЯ СИММЕТРИЧЕСКИХ ГРУПП
399
Из (2) и (3) легко следует, что За и Ап идемпотентны с точностью до некоторого множителя 1а. Дальнейшие алгебраические свойства элементов 5а и Ла вытекают из следующей комбинаторной леммы:
Пусть 2а и 2р — две схемы указанного выше типа; пусть а^р. Если в 2а ни в одной стросе нет двух цифр, входящих в один столбец схемы 2р, то а = Р и схема 2а переходит в схему 2р с помощью подстановки вида рф.
Р<?2а = 2р.
(Обозначения р ид относятся к 2а, т. е. р оставляет инвариантными строки, а р — столбцы схемы 2а.)
Доказательство. Из а 3= Р следует, что ахЗ^Ры В первой строке схемы 2а стоит а! цифр. Так как те же самые цифры должны в 2р стоять в различных столбцах, схема 2р содержит не менее а! строк, откуда ах Рх и, следовательно, ах = Рх. С помощью некоторой подстановки оставляющей инвариантными столбцы в 2р, указанные цифры переходят в первую строку схемы 2р.
Из а 3= Р следует далее, что а2 р2- Во второй строке схемы 2а стоит а2 цифр. Так как они должны входить в разные столбцы схемы р(2р, в последней вне первой строки, которую мы уже построили, должно быть не менее а2 столбцов. Отсюда следует, что а2 ^ р2> и поэтому а2 = р2- С помощью некоторой подстановки р2, оставляющей инвариантными столбцы схемы р(2р, а также ее первую строку, названные цифры переводятся во вторую строку схемы 2 р.
Продолжая таким образом, мы в конце концов получим схему д'2р = = ... <7'<7'2р, строки которой совпадают со строками схемы 2а. Тем самым
С ПОМОЩЬЮ некоторой подстановки р схему 2а МОЖНО перевести В схему р'2р:
</2р = р2а.
Подстановка я' = Чн---Р'^Ч\ оставляет инвариантными столбцы схемы 2р, а потому и схемы д'2р = р2а. При подходящей подстановке ц выполняется, следовательно, равенство
и поэтому
р<Г1р-12р = р2а,
= 7^а>
что и требовалось доказать.
Из этой комбинаторной леммы всегда следует, что
Лр5а = 0 для а>р. (4)
Действительно, согласно лемме, в случае а > (5 существует пара цифр, принадлежащая одной строке схемы 2а и одному столбцу схемы 2р. Если t — транспозиция, меняющая местами эти цифры, то из (2) и (3) следует, что
Лр5а = Лр«-15а = — Лр5а,
откуда и получается (4).
Точно так же доказывается, что
5а^р = 0 для а > р.
Кроме того, все выражения, получающиеся из Лр сопряжением, аннулируются суммой 5а:
^а^ря-3 =0 для а > р,
потому что хЛря"1 — это снова некоторое Лр, но для преобразованной схемы $2р. Из этого результата с помощью умножения на эИ и суммирования по всем 5
400
ТЕОРИЯ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ ГРУПП И АЛГЕБР
[ГЛ XIV
из ® следует, что
Предыдущая << 1 .. 149 150 151 152 153 154 < 155 > 156 157 158 159 160 161 .. 247 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed