Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Варден Б.Л. -> "Алгебра " -> 156

Алгебра - Варден Б.Л.

Варден Б.Л. Алгебра — Наука , 1950. — 649 c.
Скачать (прямая ссылка): algebra1950.djvu
Предыдущая << 1 .. 150 151 152 153 154 155 < 156 > 157 158 159 160 161 162 .. 247 >> Следующая

За (I] 50) Лр = (0),
или
5аоЛр = (0) (а>Р). (5)
Таким образом, левые идеалы еЛр с |3 < а аннулируются элементом 5а. Иначе говоря, элемент 5а представляется нулем в том представлении, которое определяется идеалом оЛр. Вместе с тем 8аАа Ф 0, потому что коэффициент при единичном элементе в произведении 8аАа не равен нулю. Следовательно, элемент 5а в представлении, связанном с идеалом вАа, представляется отличным от нуля преобразованием. По этой причине упомянутое представление содержит по крайней мере одну неприводимую составляющую, не входящую ни
в один из модулей сЛр при р<а. Рассмотрим ее подробнее.
Элемент 5аЛа рдад, согласно (2) и (3), удовлетворяет равенству
Р <7
рЗаЛа<7а д = 5аЛа.
Докажем теперь, что 8аАа является единственным с точностью до множителя элементом с таким свойством. Точнее, мы докажем следующее: если элемент а кольца в удовлетворяет равенству
рада9 = а (6)
для всех р и у, то он имеет вид (5аЛа) у.
Доказательство. Положим
я = 2 ^ (!)
$
Подставляя (7) в (6), получим
2^ = 2 РвуадЧ*- (8)
5 5
В левую часть последнего равенства входит лишь одно слагаемое с рд, именно рцу, аналогично в правую часть входит также одно слагаемое при 5=1. Сравнение коэффициентов дает
Урд = ^дУ 1-
Выберем теперь любую подстановку в, отличную от подстановок, имеющих вид рц. Тогда схема з2а отлична от всех схем рд2а и, согласно комбинаторной лемме, существуют две цифры /, ?, которые в 2а находятся в одной строке, а в 52а — в одном столбце. Если ^ — транспозиция этих цифр: ? = (/?), то подстановка Р = в~Чв меняет местами лишь цифры и в~1к, которые стоят
в одном столбце таблицы 5_152а=2а. Следовательно, ^ — это подстановка вида р, а С — подстановка вида ц, и мы можем в (8) положить р = С тогда
для выбранной выше подстановки 5 имеем
р5<7 = ^55-1^ = 5,
сг? = — 1,
и сравнение слагаемых с в слева и справа в (8) дает нам
Уз = —Уз- Т5 = °-
Следовательно, в (7) входят лишь слагаемые с 5 = у5 —а^1 и имеет место
равенство
а = 2 Р^дУ 1 = 71.
р, д
что и требовалось доказать
Из доказанного немедленно следует, что для каждого элемента Ь кольца г элемент 5а6Ла имеет вид (ЗаЛа) у, потому что для любых р и д справедливо
§ 111)
ПОЛУГРУППЫ ЛИНЕЙНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ
401
равенство
Следовательно,
pSabAaqa q — SabAa. S (Sa/4a) Q.
Положим SaAa = Ia; тогда
(9)
Мы утверждаем теперь, что с!а — минимальный левый идеал. Действительно, если 1 — подидеал в с/а, то из (9) следует, что
следовательно, так как /аП — одночленный, а потому минимальный й-модуль, имеет место одно из равенств
В первом случае е/а = с/аП Е о/а1 е I, в силу чего ? = о/а. Во втором же случае ?2 = о/а? = (0) и, так как нет нильпотентных идеалов, отличных от (0), получается равенство ( = (0).
Минимальные левые идеалы о/а и о/р при а > р не являются операторно изоморфными. Действительно, в силу (5) при а > р выполняются соотношения
однако для a=Ia = SaAa это не так, потому что Scc^4a = faSaAa Ф 0.
Каждому левому идеалу tla соответствует некоторое неприводимое представление 3>a, а согласно сделанным выше замечаниям, эти представления при различных а неэквивалентны.
Число так отыскиваемых представлений равно числу решений задачи (1). Одновременно это число равно и числу классов сопряженных подстановок, потому что каждый такой класс состоит из всех элементов, распадающихся на ЦИКЛЫ ДЛИНЫ (*!, ос2, ... , a/j, а все эти длины можно упорядочить в соответствии с условием (1). Так как число всех неэквивалентных неприводимых представлений задается числом классов сопряженных подстановок, то этим показано, что представлениями ?>a исчерпываются все неприводимые представления симметрических групп
Введенные выше левые идеалы о1а определены над рациональными числами. Отсюда следует рациональность неприводимых представлений (как и характеров).
Пусть дано основное поле Р; мы рассмотрим множество линейных преобразований, матричные элементы которых принадлежат полю Р или его расширению Л. Такое множество называется полугруппой, если вместе с любыми двумя своими преобразованиями оно содержит и их произведение. Линейная оболочка произвольной системы преобразований над Р состоит из всех линейных
1 = или /сс.1 = ( 0).
е 5асЛр — (0), следовательно, для любого а' из е/р имеем
5аа' = 0.
Если бы было о/а^с/р, то для каждого а из о 1а было бы
5аа = 0;
§ 111. Полугруппы линейных преобразований
402 ТЕОРИЯ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ ГРУПП И АЛГЕБР [ГЛ XIV
комбинаций преобразований этой системы с коэффициентами из Р. В последующем мы будем рассматривать лишь такие системы, которые содержат только конечное число линейно независимых преобразований над Р и, следовательно, линейная оболочка которых имеет конечный ранг над Р. Линейная оболочка полугруппы при этих условиях является некоторой алгеброй 'Л конечного ранга над Р. Любой элемент такой алгебры — некоторое линейное преобразование. Следовательно, мы имеем над Р некоторую алгебру в совершенно определенном точном представлении 2).
Основной вопрос, интересующий нас в данном случае, таков: как распадается неприводимое представление 3) над расширением А?
Предыдущая << 1 .. 150 151 152 153 154 155 < 156 > 157 158 159 160 161 162 .. 247 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed