Алгебра - Варден Б.Л.
Скачать (прямая ссылка):
в частности,
в>(Ы=Ь&> =?*,(«,). (5)
Произведение какь является суммой групповых элементов, вновь принадлежащей центру 3 и поэтому вновь выражающейся через суммы классов ка\
*аА = .2в$А- (6)
г
Гомоморфность отображения 0У выражается в таком случае равенством
0Л)'е,«=2«А(*,> о
С
которое с помощью (5) переписывается в виде
ААХу И XV (Й) = ПХ ёаЬНЛу (С) (8)
С
(второе соотношение между характерами).
В суммах (6), (7) и (8) индекс с пробегает произвольно фиксированную систему представителей всех классов. Если же с пробегает все элементы группы, то в (8) следует справа вычерк-
§ 109]
ГРУППОВЫЕ ХАРАКТЕРЫ
395
путь множитель кс. Так как 0У —единственно возможные гомоморфизмы центра 3. характеры являются единственно возможными решениями уравнения (8).
Сопряженные характеры
Для каждого представления си—*? А существует «сопряженное (или контраградиентное) представление» а\—* А'1, где Л'—матрица, транспонированная по отношению к А. Действительно, при таком сопоставлении имеем:
аЬ -*? (АВ)'-1 = (,В'АТ1 = А1'1 В'-1.
Представление, сопряженное к сопряженному представлению, совпадает с исходным. Если представление а \—*? А приводимо, то таково же и сопряженное, и наоборот. Таким образом, представление, сопряженное к неприводимому, тоже неприводимо.
Если от данного представления А перейти к эквивалентному представлению Р~ХАР, то сопряженное представление перейдет в
(Р МР)' 1 = Р'А' 1Р'-\
т. е. тоже в эквивалентное.
Обозначим через представление, сопряженное к Ду, тогда, если («) = А, то
3)уДа-1) = Л',
и, так как след матрицы А' равен следу матрицы А, справедливо равенство
XV'(О = XV (а).
Характер %Ч’, сопряженный к %у, обозначается также и через уЛ..
Каждый характер является суммой корней из единицы. Это объясняется тем, что каждый элемент а группы © порождает некоторую циклическую подгруппу (Д порядок т которой является делителем Н, а любое неприводимое представление 2Д группы © задает некоторое представление группы (5; последнее полностью распадается на представления первой степени, матричные элементы которых являются корнями т-й степени из единицы. След представляющей матрицы равен сумме диагональных элементов, т. е. сумме корней т-й степени из единицы:
Х(а) = Г1 + Г* + ...+ ?Ч (9)
где ? — примитивный корень т-й степени из единицы.
Дальнейшие соотношения между характерами
Если 5 (с) —след группового элемента с в регулярном представлении, то
5 (с) = 2 ©’XV (с)>
396 ТЕОРИЯ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ ГРУПП И АЛГЕБР [ГЛ XIV
так как регулярное представление содержит неприводимое представление T)v точно nv раз. След S (с), однако, вычисляется непосредственно: групповые элементы аъ ..., ah составляют базис векторного пространства о, на котором действует регулярное представление и
cdi = cifj.
Элементы с i — k входят сюда лишь тогда, когда с равно единичному элементу группы 1; в этом случае каждое i равно соответствующему k. Таким образом
S(\)—h, S(c) = 0 для сф1
и, следовательно,
_ ч ( h для с=1,
S »•*'<*> = { о для с* 1. <10>
Если теперь просуммировать (8) по всем v и сравнить с (10), то получится
hahb'^iXv{a)Xv(b) = gab-h. (11)
V
Число g'ab показывает, как часто произведение а'Ь', где а' принадлежит классу &0, ab’ — классу &*, обращается в 1. Следо-
вательно, это число равно нулю, если и не имеют взаимно обратных элементов. Но если такая пара элементов существует, — допустим, Ь = а~1, — то для каждого элемента а’ =сас1 из есть обратный элемент Ь' = а'~х = cbcr1 из и мы получаем
gab = bla hb.
Тем самым, деля соотношение (11) на hb, мы приходим к третьему соотношению между характерами:
( h для = &„-!,
К 2 Xv (а) Ъ Ф) = | о для ^ ф j (12)
В частном случае а= 1 отсюда вновь получается (10).
Пусть теперь а1} ..., as — система представителей всех классов сопряженных элементов. Положим
Xvti — Xv ’HlJ.v = ~y%v (<v) =-j~Xv №)?
Соотношение (12) говорит тогда о том, что матрицы Х = ||х^[| и У = 11^ II взаимно обратны:
УХ = Е или У = Х-Ч (13)
§ 109]
ГРУППОВЫЕ ХАРАКТЕРЫ
397
Из (13) следует, что или, более подробно,
XY = E
(a)xn(?) =
1 ДЛЯ V = (X, 0 ДЛЯ V Ф (X.
(14)
Здесь а пробегает всю систему представителей, указанную выше. Если же а пробегает все элементы группы, то нужно убрать множители На. Отсюда получается ортогональность характеров'
(четвертое соотношение между характерами).
В частности, если р = 0, т. е. когда есть характер %0 единичного представления, то из (15) следует
Тот факт, что матрицы X и V взаимно обратны, можно использовать для вычисления идемпотентных элементов центра еи ..., порождающих в о двусторонние идеалы. Действительно, согласно § 108 для базисных элементов &а центра 3 имеют место равенства
Если умножить это на %р(а) и просуммировать по всем классам то получится
Литература. Не зависящее от теории алгебр обоснование теории представлений конечных групп данов работе: Шур (Schur I.). Neue Begr?ndung der Theorie der Gruppencharaktere. — Sitzungsber. Berlin, 1905, S. 406—432. Обобщение этой теории на бесконечные группы принадлежит фон Нейману (von Neumann J.). Almost periodic functions in groups. — Trans. Amer. Math. Soc., 1934, 36, p. 445—492. Дальнейшие сведения о литературе можно найти у автора: van der Waerden В. L. Gruppen von linearen Transformationen.— Ergeb. Math., IV/2, Berlin, 1935.
