Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Варден Б.Л. -> "Алгебра " -> 161

Алгебра - Варден Б.Л.

Варден Б.Л. Алгебра — Наука , 1950. — 649 c.
Скачать (прямая ссылка): algebra1950.djvu
Предыдущая << 1 .. 155 156 157 158 159 160 < 161 > 162 163 164 165 166 167 .. 247 >> Следующая

Централизатор А' поля 2 является телом, элементы 6 которого перестановочны со всеми элементами из 2. Если бы один из таких элементов 0 не содержался в 2, то расширение 2 (0) собственным образом содержало бы поле 2, а это противоречит максимальности поля Кг. Следовательно, должно иметь место равенство Д' = 2. Но тогда А = 2, т. е. 2 — поле разложения алгебры К.
Тем самым мы получили следующее описание полей разложения:
Каждое максимальное подполе полного матричного кольца Кг является полем разложения тела К; обратно, каждое поле разложения можно представить как максимальное подполе в алгебре К, (даже неприводимым образом).
В случае неприводимого вложения поля 2 в алгебру Кг, согласно (3) § 112, имеет место соотношение между рангами:
(2 : Р) = *л
Здесь ^ является степенью абсолютно неприводимого представления тела К над полем 2, т. е. число I равно индексу т тела К.
412
ТЕОРИЯ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ ГРУПП И АЛГЕБР
[ГЛ. XIV
Следовательно,
(2 : р) = тг.
Отсюда получается: степень поля разложения 2 алгебры К делится на индекс т тела К. Максимальное подполе в К является полем разложения наименьшей возможной степени т.
В заключение мы докажем следующую теорему:
Любая центральная алгебра с делением К над полем Р обладает по крайней мере одним сепарабельным полем разложения.
Для доказательства потребуется
Лемма. Любая р*-строчная матрица А над полем характеристики р, удовлетворяющая уравнению вида
Арс = Е1> (Е — единичная матрица), (1)
имеет характеристический многочлен (см. § 89) вида
хМ=*р/-Р
и, следовательно, если р! ~> 1, то след такой матрицы равен нулю.
Доказательство леммы. Мы можем присоединить к основному полю корни р"-й степени из элемента С и считать, что ? = т)ре? Если матрицу А рассматривать как матрицу линейного преобразования некоторого векторного пространства, то для каждого вектора V будут выполнены соотношения
О = (А?е — ?) о = (Аре — \\Ре) и = (Л — т!)Ре V.
Элементарные делители ?у(х) матрицы А согласно их определению (§ 88) являются делителями многочлена {х — ц)ре, т. е. степенями двучлена (х — г]). В свою очередь характеристический многочлен % (х) является произведением элементарных делителей и поэтому обязательно равен некоторой степени двучлена (х — т]). Но так как % (х) — многочлен степени р!, выполняются равенства
% (х) = (х — т])р^ = хр/ — = хр/ — р.
Доказательство существования сепарабельного поля разложения. Пусть 2 — максимальное сепарабельное подполе в К и А'— централизатор поля 7. в К. Согласно структурной теореме из § 112 произведение гхК' изоморфно полному матричному кольцу А*, где А инверсно изоморфно по отношению к А'. Центр алгебры 7х\А' равен 2хР = 2, так как Р —центр тела К'. Следовательно, и центр алгебры А{ равен 2. Но центр полного матричного кольца А/ равен центру алгебры А, так что центр алгебры А' равен 7.
Если теперь 0 — произвольный элемент из А, не принадлежащий центру 2, то поле 2(6) несепарабельно: оно имеет редуцированную степень 1, так как иначе 2(6) содержало бы некоторое
§ 114]
ГРУППА БРАУЭРА. СИСТЕМЫ ФАКТОРОВ
413
сепарабельное подполе, содержащее центр 2. Элемент 0 удовлетворяет, следовательно, неразложимому уравнению вида
0^ = ?, 2. (2)
То же самое верно (при ре — 1) и тогда, когда 0 принадлежит
самому центру 2.
Если 2 — максимальное подполе в А', то его редуцированная степень над 2 как над основным полем равна 1, т. е. его степень
как расширения равна р!. Поле 2 является полем разложения
для А', т. е. А'X 2 —полное матричное кольцо над 2 порядка рК В этом матричном представлении все элементы из А' имеют согласно лемме нулевой след, если р* > 1. Объясняется это так: из (2) следует, что если Л —матрица, представляющая элемент 0, то имеет место матричное равенство (1); все матрицы из А'х2 являются линейными комбинациями матриц из А' с коэффициентами из 2—основного поля матричного кольца; следовательно, все эти матрицы имеют нулевой след при р1 > 1; противоречие теперь состоит в том, что сказанное относится к полному матричному кольцу. Следовательно, р> = 1, 2 = 2 — единственная оставшаяся возможность. Центр 2 является теперь максимальным подполем в К, а потому полем разложения.
§ 114. Группа Брауэра. Системы факторов
Распределим центральные простые алгебры над фиксированным основным полем Р на классы так, чтобы к одному классу [К] относились все те алгебры, которые изоморфны полным матричным кольцам над одним и тем же телом К.
Если К и А —тела над Р, то К XА —вновь центральная и простая алгебра (§ 103) и, следовательно,
КхА^Д,. (1)
Из (1) следует, что
К(.хА, = КхР(.хЛхР,^Д/ХРг, = АхР/хР„ = Ах Р,„ = А<лО
тем самым произведения К,хЛ5 алгебр из классов {К] и [Л] принадлежат одному и тому же клсссу [А]. Этот последний назовем произведением классов [К] и [А]. Так как
К X А = А х К,
К X (А X Г) = (К X А) х Г,
то операция умножения коммутативна и ассоциативна. Существует также и единичный класс: это класс [Р] основного
поля. Наконец, для каждого класса [К] существует обратный класс, а именно, класс [К'] тела К', инверсно изооморфного телу К.
Предыдущая << 1 .. 155 156 157 158 159 160 < 161 > 162 163 164 165 166 167 .. 247 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed