Алгебра - Варден Б.Л.
Скачать (прямая ссылка):
414
ТЕОРИЯ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ ГРУПП И АЛГЕБР
[ГЛ. XIV
Следовательно: классы центральных простых алгебр над Р образуют абелеву группу. Первым ее исследовал Р. Брауэр и поэтому ее называют группой Брауэра классов алгебр.
Любую подгруппу группы Брауэра всегда составляют те классы алгебр, которые в качестве поля разложения имеют одно и то же расширение 2 поля Р. Действительно, любое поле разложения тела К согласно § 103 является полем разложения всего класса [К], а также и класса [К'], потому что К' инверсно изоморфно К и, следовательно К'хЕ инверсно изоморфно КхЕ. Если К и Л обладают одним и тем же полем разложения Е, т. е. если
КхЕ^Е*. ЛхЕ^Е,,
то
(К X Л) X Е К X 2, Оё К X Е X 2* X Р/ = Е X Р* X Р^ 2^,
а потому Е является полем разложения и произведения КхЛ, а, следовательно, и всего класса [КхЛ].
Каждый брауэров класс алгебр [К] согласно § 113 обладает сепарабельным полем разложения, скажем, полем Р (6). Если вместе с 0 присоединить и сопряженные с ним элементы, то получится некоторое нормальное сепарабельное поле разложения Е. Согласно § 113, это подполе неприводимым образом представляется максимальным коммутативным подполем в простой алгебре Л = КЛ, принадпежащей классу [К].
Докажем теперь следующее: алгебра 'Л является скрещенным произведением поля Е с его группой Галуа © в смысле § 94.
Прежде всего, из § 94 следует, что Е является своим собственным централизатором в Л = Кг, т. е. каждый элемент из Л, перестановочный со всеми элементами из Е, принадлежит Е.
Как и в § 94, мы обозначаем через 5, Г, ... элементы группы Галуа ©, а через Р5 — элемент из Е, который получился применением к элементу р автоморфизма 5. Произведение БТ вновь определяется равенством
рят = (р«)г.
Согласно теореме об автоморфизмах из § 112 автоморфизмы 5 порождаются внутренними автоморфизмами алгебры Л. Следовательно, для каждого 5 существует такой элемент и3 из Л, обладающий обратным ц-Е, что для всех р из 2 имеет место равенство
Ы1‘Р«5= РЯ,
или
р и5 = и5^. (2)
Согласно (2) элемент иЪтИвит перестановочен со всеми элементами из Е, а потому он является элементом поля Е. Следовательно, если положить
=65, Г»
§ 114]
ГРУППА БРАУЭРА. СИСТЕМЫ ФАКТОРОВ
415
то получится правило умножения
и$и.т — Мзгбз, т- (3)
Так как элемент 65, г обладает обратным — таковым служит элемент ит1из'и5Г, —то 65, т ?=0.
Правила (2) и (3) совпадают с правилами (4) и (5), с помощью которых в § 94 было введено скрещенное произведение. Из этих правил следует, как было тогда доказано, что элементы «5 линейно независимы над полем 2. Линейные комбинации элементов с коэффициентами из 2
а — 2
образуют в 'Л некоторое кольцо Лх, ранг которого над 2 равен п, а над Р, следовательно, равен л2, где п = (2 : Р) — ранг 2 над Р. Согласно § 113 имеет место равенство
л = (2 : Р) = гт.
Ранг алгебры Л = Кг над Р равен
г2 (К : Р) = г2т2 = л2.
Так как Лх и Л имеют один и тот же ранг л2 и Л3 содержится в Л, то ЛХ = Л, т. е. Л является скрещенным произведением поля 2 с его группой Галуа ©.
Возможность представления алгебр Л = КГ в виде скрещенных произведений впервые обнаружила Эмми Нётер. Поэтому систему {65, г} элементов 65, т называют нётеровой системой факторов алгебры Л или класса алгебр [К]. Очевидно, что
Алгебра Л полностью определяется заданием поля 2 и системы факторов {б5> 7}.
Обратное неверно. Если заданы Л и 2, то вложение поля 2 в алгебру Л определено однозначно с точностью до внутренних автоморфизмов алгебры Л и с помощью такого вложения элементы и5 определяются неоднозначно — согласно (14) из § 94 можно заменить элементы и8 на
^ = и$у$ У в Ф О- (4)
Это, однако, единственная возможность менять упомянутые и5, потому что о5, как и и5, обладают свойством (2):
так что элемент перестановочен со всеми р и 2:
Р^ы^1 = = и3иъ1 Р-
Если положить о5и~з'=^у5, то элементы уз будут элементами из 2 и получится, что
^ = Уб«3-
416
ТЕОРИЯ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ ГРУПП И АЛГЕБР
[ГЛ. XIV
Замена элементов и3 на элементы как мы видели в § 94, имеет своим следствием замену системы факторов {6$, т\ на ассоциированную систему факторов {?5,7-}:
Таким образом, брауэровы классы алгебр [К] с фиксированным полем разложения 2 взаимно однозначно соответствуют классам ассоциированных систем факторов {6s, 7-} из поля 2, подчиняющихся условиям ассоциативности (13) из § 94.
До сих пор мы исходили из некоторого заданного нормального поля разложения 2. Но, следуя Р. Брауэру, можно определить систему факторов простой алгебры Кг и над полем разложения, не являющимся нормальным.
Пусть А —конечное поле разложения, о котором не предполагается, что оно нормально. Пусть 0 = 67 — примитивный элемент поля А, так что А = Р (0), и пусть р„ (а = 1, 2, ..., п) — элементы, сопряженные с 0 в некотором подходяще выбранном нормальном расширении 2.
Существует лишь одно, с точностью до эквивалентности, абсолютно неприводимое представление алгебры Кг матрицами над А. Пусть а I—»-Л —это представление и пусть а i—»- Аа — представления, которые получаются из только что названного применением изоморфизма полей 0i—»-0а к матрицам. Так как все эти представления эквивалентны друг другу (над полем 2 также существует лишь одно неприводимое представление), то имеются матрицы Дар, переводящие представление Аа в представление А$:
