Алгебра - Варден Б.Л.
Скачать (прямая ссылка):
Р<=2д=2с=К; (2:1) = т\ (К\Т) = т2.
Так как К — некоммутативная алгебра, должно быть выполнено неравенство т> 1. Полями Ъ и 2 могут быть лишь Р и
Р (О- Так как т> 1, поле 2 не равно Ъ. Следовательно,
2 = Р (1), Z = P, т = 2.
Искомая алгебра К может, следовательно, иметь ранг лишь т2 = 4.
Автоморфизм поля Р (0, переводящий / в —г', согласно теореме об автоморфизмах определяется некоторым внутренним автоморфизмом тела К, т. е. существует элемент & со свойством
Ык~1 =—I. (7)
Так как й не содержится в 2 = Р (г), то должно иметь место равенство 2 (Щ = К; следовательно, К = Р (г, &). Из (7) следует, что
к21кг2 = 1,
т. е. элемент к.2 перестановочен с элементом г. Так как /г2 перестановочен с /г, элемент /г2 принадлежит центру: /г2 = аЕР.
Если бы было а Ф 0, то мы имели бы а = Ь2 и
к?-Ь2 = (к-Ь) (? + &)= О, к — Ъ = 0 или кфЪ = 0;
следовательно, АеР, что невозможно. Поэтому должно иметь место неравенство а<0, т. е. а== — Ь2 (Ьф 0). Умножая /г на вещественное число Ь~г, можно добиться, чтобы было к2 = — 1, и при этом не потерять ни одного из отмеченных выше свойств элемента ^ Для I и /г имеем:
Ы = —1&, г'2 = № = — 1.
Эти соотношения характеризуют алгебру кватернионов. Следовательно, алгебра кватернионов — единственная некоммутативная алгебра с делением над полем вещественных чисел.
Точно так же доказывается, что любая центральная алгебра с делением индекса 2 над полем (Е) рациональных чисел является алгеброй обобщенных кватернионов.
4. Описание всех конечных тел (тел с конечным числом элементов).
Если К — произвольное конечное тело, 7 —его центр, а т — его индекс над Z, то каждый элемент из К обязательно содержится в каком-либо подполе 2 степени т над Z. Однако все
410
ТЕОРИЯ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ ГРУПП И АЛГЕБР
[ГЛ XIV
коммутативные расширения т-й степени 2 поля Галуа Z, состоящие из р’г элементов, попарно эквивалентны (действительно, они получаются присоединением всех корней уравнения хч = х, q = р”т). Следовательно, все эти поля получаются трансформированием с помощью элементов из К из одного произвольно взятого среди них поля 20:
2 = х20х 1.
Если удалить из тела К нуль, то К превратится в некоторую группу ©, 20 —в ее подгруппу ф, 2—в сопряженную подгруппу хфх~* и эти сопряженные подгруппы все вместе будут составлять всю группу © (потому что каждый элемент из К содержится в одном из полей 2). Докажем следующую теоретико-групповую лемму:
Лемма. Собственная подгруппа ф конечной группы © не может вместе со всеми своими сопряженными подгруппами s^s“1 составлять всю группу ©.
Доказательство. Пусть п и N — порядки фи© соответственно, и пусть j — индекс подгруппы ф, так что N = j-n. Если s и s' принадлежат одному и тому же смежному классу вф, т. е. s' =sh, то
в'фв' 1 = shS^ih V1 = s4c3s Г
Следовательно, различных подгрупп эфэ 1 существует не больше, чем есть смежных классов, т. е. не больше j. Если бы различные подгруппы s^s'1 (к числу которых относится и сама группа ф) составляли всю группу @, то у них не было бы общих элементов, потому что иначе нельзя было бы получить все N — j ? п элементов группы ©. Но так как любые две подгруппы эфэ 1 обладают общим элементом — единицей, то они должны совпадать. Отсюда ф = @, и мы получили противоречие.
Для нашего случая из этой леммы следует, что ф не может быть собственной подгруппой в © и, таким образом, ф = © и К = 20. Следовательно, тело К коммутативно. Мы доказали теорему:
Любое тело с конечным числом элементов коммутативно, т. е. является полем.
Другое доказательство этой теоремы, принадлежащее Веддерберну, см. в работе: Витт (Witt E.).— Abh. Math. Sem. Hamburg, 1931, 8, S. 413.
§ 113. Поля разложения простых алгебр
Любая простая алгебра 91 может рассматриваться как полное матричное кольцо над некоторой алгеброй с делением Н:
91 = К,.
Согласно § 103 поля разложения тела К являются в то же время полями разложения и для 91, и наоборот. Поэтому при
§ 113]
ПОЛЯ РАЗЛОЖЕНИЯ ПРОСТЫХ АЛГЕБР
411
изучении полей разложения можно ограничиться лишь полями разложения тел К. Далее, центр тела К можно рассматривать как основное поле Р; тогда К — центральная алгебра над Р.
Согласно § 112 максимальные подполя в К являются полями разложения для К. Следовательно, существует поле разложения 2 конечной степени над Р. Мы ограничимся поэтому рассмотрением лишь конечных расширений 2 основного поля Р.
Согласно § 112 каждое такое поле 2 неприводимым образом погружается в алгебру Кл. Поэтому можно рассматривать 2 как неприводимую систему матриц из Кг. Если 2—поле разложения алгебры К, то это означает, что 2 х К' является полным матричным кольцом над 2:
2хК' = 2л так что Д = 2.
Инверсное кольцо А' в таком случае тоже равно 2. Следовательно, централизатор поля 2 равен 2, т. е. любой элемент из К0 перестановочный со всеми элементами из 2, принадлежит самому полю 2. Отсюда следует, что 2 — максимальное подполе (даже максимальное коммутативное подкольцо) в Кг.
Обратно, пусть 2 — максимальное подполе матричного кольца К,-. Если бы система 2 была приводимой, то согласно (4) из § 112 матрицы А системы 2 можно было бы получить из частей А1. Эти части образуют некоторую систему 2Х, изоморфную системе 2, которая тоже максимальна как подполе в К,,. Следовательно, без ограничения общности мы можем рассматривать 2 как неприводимую систему.
