Математическое и цифровое моделирование для инженеров и исследователей - Смит Дж.М.
Скачать (прямая ссылка):
Допустим, нам известно, что в четвертой графе таблицы величин реакций расположено, истинно непрерывное решение в диапазоне между t = 3T и 4 Г. Используя обратную интерполяцию, можно определить, при каком времени дискретное решение приближается к непрерывному решению, и затем выбрать соответствующий промежуток времени, за который рассчитываются интервалы пТ.
Необходимо обратить внимание на то, что при решении, полученном при помощи разностного уравнения, а также при помощи формул численного интегрирования, исследователь сталкивается с проблемой времени, которое отличает xapaKfep процесса во времени исходной системы от характера процесса во временной последовательности пТ. Эта проблема заключена в дисркетной аппроксимации непрерывного по времени процесса, отличного от последовательности значений пТ. Отсюда индекс в рекуррентных формулах в большей мере относится к числу итераций, чем к промежутку времени пТ.
Исследователь должен уметь связывать последовательность получаемых результатов с реальным временем, сравнивая эти результаты с контрольным примером процесса, протекающего в истинном непрерывном времени. По собственному опыту автора многие инженеры и программисты, обратив внимание на проблему времени, стараются сравнить результаты, полученные при непрерывных и дискретных операциях вычисления, осуществленных во времени пТ, вместо того, чтобы понять, что численное интегрирование является аппроксимирующим процессом.
118
Синтез моделирующих разностных уравнений методом динамических аналогий также содержит проблемы времени.
Дискретные системы обладают, например, различием в потоке информации цепи обратной связи, в зависимости от того, содержит ли она численные интеграторы или разностные уравнения. Таким образом, исследователь при выборе квантования последовательности значений в непрерывном и дискретном процессах должен это учитывать.
Проблема возникает также при выборе слишком большого шага интегрирования, в том случае, когда остро встает вопрос экономичности вычислений во времени, так как с увеличением шага интегрирования рабочая нагрузка ЦВМ существенно уменьшается.
Некоторые из часто встречающихся линейных процессов и их моделирующие разностные уравнения, в которых применяются методы динамической аналогии, представлены в табл. 3.4.
Таблица 3.4
Разностные уравнения для наиболее часто встречающихся линейных систем с постоянными коэффициентами *
G(S)
/(О
Разностные уравнения, применяемые при моделировании
/ 1
/ S
/ I
/
1
X ~~ TS + 1
У TS
X ~TS-f 1
±_
X 52+ 2C
/ = j7(0 at
-t/x
In = In-I + Tf n
Ti
e
In = 2/я_! - In-2 + — (fa + fn-l>
</*=e + —e )xn
Уп=е Г/тУп-і + e r/x (xn — хп-г)
Уп = АУп-і — Byn-2+( 1 — Л + В) хп
А = 2е~^пт cos {wnT(l -С2)1/2} B=e~2<wnT
при 0 < С < 1
* См. дополнительную фильтрацию, разд. 5.7 содержит моделирование высоких порядков, имеющих нули и полюсы с использованием простых передаточных функций.
В гл. 4 и 5 мы встретимся с большим количеством подобных уравнений.
Выбор параметров решения разностных уравнений, применяемых при моделировании, необходимо увязывать с числом итераций в интервале времени пТ. Для этого осуществляют сравнение дис-
119
кретного решения с контрольным примером непрерывного решения, что приводит к выявлению временных параметров с помощью анализа, подобного рассмотренному ранее.
Разностные уравнения, полученные непосредственно на основании динамической аналогии, обладают важными общими свойствами.
При рассмотрении устойчивости эти разностные уравнения оказываются устойчивыми, если устойчивы исходные дифференциальные уравнения. Это обусловлено тем, что корни разностного уравнения подбираются на основании корней дифференциального уравнения, и, следовательно, если непрерывный процесс устойчив, то дискретный процесс также устойчив. Это справедливо при величине корней дискретной системы, равной или меньшей единицы, независимо от того, каким способом они формируются. Например, в случае уравнения первого порядка, которое мы здесь рассмотрим, корни дискретной системы могут быть представлены как
которые всегда меньше или равны 1 при Т>0 и т>0. Единственное условие, которое накладывается на применение разностного уравнения, состоит в том, что скорость получения дискретных значений функции возмущающего воздействия должна быть равна удвоенному наибольшему значению ее частоты.
Более детально это изложено в гл. 1, где обсуждаются скорости моделирования. Кроме того, конечные значения дискретного разностного уравнения всегда подбираются, исходя из этих значений непрерывного разностного уравнения, независимо от периода дискретизации и без необходимости знания окончательного значения корректирующего коэффициента. Это объясняется тем, что конечные значения текущей и предыдущей реакций системы при устойчивых процессах имеют одно и то же значение. При подстановке окончательного значения в разностное уравнение можно вычислить функции возмущающего воздействия на входе, которые находятся подбором таких же самых окончательных значений в моделируемых динамических непрерывных процессах.
