Математическое и цифровое моделирование для инженеров и исследователей - Смит Дж.М.
Скачать (прямая ссылка):
Глава 3. ВВЕДЕНИЕ В МОДЕЛИРОВАНИЕ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
Анализ линейных систем с постоянными коэффициентами имеет большое значение из-за того, что он часто встречается при проектировании непрерывных процессов. При нахождении параметров проектируемых систем для определения типа передаточной функции обычно исследуются выходные Динамические характеристики линейных систем при заданном входе.
В этой главе рассматривается синтез рекуррентных формул, которые могут применяться при вычислении параметров динамического процесса с выборочными дискретными значениями его передаточной функции.
Вводятся ключевые понятия и приводятся разностные динамические уравнения, полученные на базе динамических дифференциальных уравнений, т. е. основное внимание уделяется нахождению разностных уравнений, чьи характеристики корней, полюсов, нулей и фазы подобны таким же характеристикам в дифференциальных уравнениях непрерывной системы. Затем показываются примеры использования разностных уравнений для моделирования непрерывного продесса, описываемого дифференциальным уравнением.
В гл. 4 и 5 этот способ моделирования доведен до практических приложений.
3.1. РЕШЕНИЕ РАЗНОСТНЫХ УРАВНЕНИЙ МЕТОДАМИ ПОДСТАНОВКИ ПРИ ЧИСЛЕННОМ ИНТЕГРИРОВАНИИ
В гл. 7 и 8 мы найдем примеры многих классических формул интегрирования, включая формулу интегрирования Эйлера, интегрирования методом прямоугольников, методом трапеций, ^-интегрирование и ряд формул численного интегрирования дифференциальных уравнений методом прогноза и коррекции.
Существует способ использования дифференциального уравнения для численной оценки приращений, который позволяет предсказывать решение дифференциального уравнения вблизи от начального состояния.
ПО
Другим способом численного интегрирования является образо-* вание разностных уравнений.
Рассмотрим дифференциальное уравнение первого порядка с постоянными коэффициентами
Tx+x=Q, (3. 1)
где x=x(t)\ Q = Q(O» а т —постоянная.
Дальше рассмотрим формулу интегрирования Эйлера
х^х^ + Тх^. (3.2)
Применяя дифференциальное уравнение и формулу интегриро*-вания, можно получить решение в виде скорости
Xn-X = -^Л-і-хЛ_і), (3. 3)
которое можно подставить в формулу численного интегрирования
Xn=Xn^1 + ((?„_! — хп_х\ (3. 4)
При очевидных преобразованиях получается разностное уравнение или рекуррентная формула решения дифференциального уравнения в явном виде
Рекуррентная формула дает возможность вычислить, например, значение результирующей функции на 100-м шаге на основании данных, образованных на 99-м шаге. Индексация функций в рекуррентной формуле позволяет вычислить их значения при решении дифференциального уравнения методом итерации. Она также указывает время, при котором функция приобретает значение x(t) в момент t = nTf если решение началось при пТ = 0.
При їфпТ индексация позволяет определить примерные значения функций в их последовательности, полученной в результате решения разностного уравнения.
Применение рекуррентных формул- в решении дифференциальных уравнений имеет два преимущества. Они уменьшают объем вычислений при моделировании разностных уравнений, упрощают процесс линеаризации и интегрирования в неявном виде.
В этих формулах скорость переменной состояния является функцией состояния. Существует формула интегрирования с помощью метода трапеций, которая имеет вид
*я=*я-і + ^(*лї--*я-і)- (3. 6)
При интегрировании с помощью метода трапеции я+1 значение х* например, вычисляется на основании знания п+\ значения скорости х. Следовательно, для оценки х в этом дифференциальном Уравнении требуется значение хп+\. Оно находится в уравнении в неявном виде, так как в решении является функцией, зависящей
111
от самой себя. Если формулы интегрирования в неявном виде применяются для получения разностных уравнений, то эти уравнения -могут быть решены алгебраически. Например, рассмотрим неявное интегрирование по Эйлеру (интегрирование методом прямоугольников), которое принимает вид
Xn=Xn^1+ Txn. (3.7)
Из дифференциального уравнения видно, что
Xn = ^(Qn-(3.8)
откуда при подстановке в формулу прямоугольного интегрирования получим
xn=xn-x + l-{Qn-xn). (3.9)
тз
Заметим, что это уравнение обладает неявной формой, так как Xn является функцией самой себя. Однако это уравнение может быть преобразовано к следующему виду:
X1
п + VХп = xn-l + ~- Qn> (l+^r) Хп = ¦*„-! + Qn-Tl TJ V TJ / TJ
.•.-.=(тт^)^-+(т^)°- (310)
Попробуем сравнить выражение Эйлера для неявной формы с выражением в явной форме с точки зрения числовой устойчивости, числовой ошибки и способа получения решения дифференциального уравнения.
Устойчивость этих разностных уравнений первого порядка полностью определяется величиной первого коэффициента в разностном уравнении. Так, если выражение
1 + Т/х %
Интегрирование в неявном виде Интегрирование в явном виде
превышает ±1, то разностное уравнение становится неустойчивым. Например, если а = 2 в разностном уравнении уп = ауп-\ при начальном значении функции, равном единице, получим результат, представленный в табл. 3.1.
