Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Смит Дж.М. -> "Математическое и цифровое моделирование для инженеров и исследователей" -> 34

Математическое и цифровое моделирование для инженеров и исследователей - Смит Дж.М.

Смит Дж.М. Математическое и цифровое моделирование для инженеров и исследователей. Под редакцией Чембровского О.А. — M.: Машиностроение, 1980. — 271 c.
Скачать (прямая ссылка): matmodicifmod1980.djvu
Предыдущая << 1 .. 28 29 30 31 32 33 < 34 > 35 36 37 38 39 40 .. 86 >> Следующая

Таблица 3.1
Неустойчивые характеристики разностного уравнения
Уп = ауп_1(а=2)
п 1 2 3 4 5 . . . .
Un 1 2 4 8 16 ... .
112
Однако заметим, если а = 0,9, разностное уравнение устойчиво, что видно из табл. 3.2.
Таблица 3.2
Устойчивые характеристики разностного уравнения
Уп=ауп_і(а=0,9)
п 1 2 3 4 5 . . . .
Уп 1 0,9 0,81 0,729 0,6561 ....
Этот пример делает более наглядным анализ, например, разностного уравнения первого порядка, полученного с помощью неявного интегрирования методом Эйлера.
В данном случае нашей целью является определение условий, при которых размер шага интегрирования и постоянной времени системы обеспечивают устойчивость разностного уравнения и не приводят его к числовой неустойчивости.
Поэтому мы сначала определим условия, при которых величина а меньше или равна единице, т. е.
1-U
<1.
Решая неравенство для Г/т, видим, что устойчивая область для разностных уравнений, полученных с помощью интегрирования Эйлера в явном виде, есть
0< —<2.
Изучая разностное уравнение, полученное для интегрирования методом прямоугольников (интегрирование Эйлера в неявной форме) , видим, что условия, при которых
1
1 + 7-/1!
<1,
есть 0< —.
TI
Разностное уравнение, полученное с помощью Эйлера методом прямоугольников, более устойчиво, чем полученное в явном виде. Это является характерным примером более общего результата, к которому приводят линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами. Они интегрируются с помощью разностных уравнений в неявном виде и обеспечивают более устойчивые решения, чем уравнения, которые получены с помощью формул интегрирования в явном виде. Поэтому еще раз подчеркиваем это преимущество интегрирования в неявном виде для получения устойчивых разностных уравнений моделирования непрерывных про-
113
Теперь обратимся к точности этих моделирующих разностных уравнений. В табл. 3.3 представлена последовательность значений решения разностного уравнения, полученного в результате интегрирования в явной и неявной форме на единичном шаге. Наибольшая точность получается в формуле при интегрировании в неявном виде. В целях обеспечения устойчивости разностных уравнений, полученных при помощи формул Эйлера, эти разностные уравнения исследовались при соотношении шага интегрирования к постоянной времени 3/2.
Таблица 3.3
Сравнение разностных уравнений, полученных интегрированием в явной и неявной форме (Г/т= 1,5)
Нормализованное время Точность Интегрирование в неявном виде Интегрирование в явном виде
х(пТ) х{пТ) ошибка X (пТ) ошибка
Г/т=0 0 0 0 0 0
Гут= 1,5 0,776 0,600 —0,176 1,500 +0,724
Г/т=3,0 0,950 0,840 —0,110 0,750 —0,200
Г/т=4,5 0,990 0,936 -0,054 1,125 +0,135
Как видно, при этих условиях разностное уравнение, полученное при интегрировании в неявной форме, обладает большей точностью, чем разностное уравнение, полученное с помощью интегрирования в явной форме. Это подчеркивает еще одно свойство разностных уравнений, полученных с помощью интегрирования в неявном виде для моделирования линейных систем с постоянными коэффициентами. Их преимуществом является большая точность.
Наконец, изучим устойчивость полных разностных уравнений.
Поступим следующим образом. Рассмотрим неоднородное уравнение (так как в однородном уравнении все конечные условия состояния устойчивости приближаются к нулю, сравнение сделать невозможно) .
Для непрерывных и дискретных уравнений результирующий шаг описывается выражениями, которые имеют вид
^ = Q(I-е-'Л); yn = (\-J-^yn^+l-Qn_x-
Точное Явное
Неявное
При УСТОЙЧИВОМ СОСТОЯНИИ ^OO Xn=Xn-I-
Таким образом, окончательное значение можно записать как Um у {t) = Q; У п = Qn = Qn-i* Vn=Qn-
t -+оо
Точное Неявное Явное
114
Отсюда как неявное, Так и явное разностные уравнения достигают одного и того же окончательного значения, равного окончательному значению ступенчатой функции входного сигнала.
Однако рекуррентная формула, полученная с помощью интегрирования в неявном виде, является и более устойчивой и более точной, чем формула, выведенная с помощью интегрирования в явном виде.
Эти рекуррентные формулы особенно полезны в оценке реакции системы на произвольную функцию возмущающего воздействия. В случае, если шаг интегрирования мал в сравнении со значением наибольшего периода колебаний функции возмущающего воздействия, рекуррентные формулы можно использовать для вычисления реакции системы на произвольную функцию возмущающего воздействия для оценки ее эффективности.
Затруднение связано с формулой интегрирования в неявном виде при вычислении реакции системы на произвольную функцию возмущающего воздействия в связи с допущением, что она рассматривается в момент д.
Если функция возмущающего воздействия имеет вид
/=/0л О, оценка функции /п соответствует
fn = f{y* пТ),
в которой уп еще не определено.
Мы располагаем только значениями уп-\. В этом случае для оценки у мы должны применить формулу экстраполяции, учитывающую ее последние значения, или можно полагать уп-\ как аппроксимацию уп. Это можно сделать, если компоненты функции возмущающего воздействия (с точки зрения анализа Фурье) обладают более низкой частотой, чем собственная частота системы, заданная дифференциальным уравнением.
Предыдущая << 1 .. 28 29 30 31 32 33 < 34 > 35 36 37 38 39 40 .. 86 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed