Математическое и цифровое моделирование для инженеров и исследователей - Смит Дж.М.
Скачать (прямая ссылка):
В этих моделирующих разностных уравнениях есть ограничение. Непрерывная система второго порядка может обладать тремя совершенно различными динамическими характеристиками: когда два корня системы действительны и равны; когда они действительны и неравны; когда оба корня комплексны. В устойчивых динамических непрерывных системах второго порядка с комплексными корнями колебания демпфируются, реакция системы с действительными корнями не носит колебательного характера, имеет в результате демпфирования апериодический характер движения. В каждом случае необходим самостоятельный тип разностных уравнений. Поэтому для определения характера разностного уравнения нужно знать, какое место занимают корни на комплексной плоскости. Это особенно важно, если коэффициенты дифференциального уравнения меняются во времени так же, как и в случае линейной системы
120
с переменными коэффициентами. Если коэффициенты меняются со временем, то для решения могут быть использованы разностные уравнения при их кусочно-линейной аппроксимации уравнениями с постоянными коэффициентами подбором результатов, близких к решению, полученному методом численного интегрирования дифференциального уравнения с переменными коэффициентами. Однако, если корни, меняющиеся со временем, пересекают действительную ось, то необходимо осуществлять переключение с одного разностного уравнения на другое, а именно, одно разностное'уравне-ние моделирует динамический процесс при неравных действительных корнях, другое разностное уравнение моделирует динамику, если корни действительные и равные; и существует еще одно разностное уравнение в случае комплексных корней. Выбор соответствующего ряда разностных уравнений достаточно прост, но заметим, что разностные уравнения неявного вида, которые получены в разд. 3.3, не нуждаются в их изменении и поэтому могут быть более пригодны с точки зрения быстроты моделирования непрерывных процессов с переменными коэффициентами.
Глава 4. ДИСКРЕТНО-АНАЛОГОВОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ
В этой главе рассматривается дискретно-аналоговый метод моделирования линейных стационарных систем. Этот метод может быть с таким же успехом применен и к нестационарным линейным и нелинейным системам. Метод позволяет синтезировать дискретные системы, являющиеся аналогом непрерывных систем. Поэтому в главе получаются разностные уравнения, которые описывают такую дискретную систему, которую используют для программирования на цифровой вычислительной машине. Последовательность решений разностного уравнения безусловно относится к выбранной дискретной системе, а не к непрерывной. Поскольку дискретная система является аналогом непрерывной системы, можно определить последовательность решений разностных уравнений, позволяющих характеризовать движения непрерывной системы.
По этому методу дискретная система синтезируется таким образом, чтобы переработка сигнала в ней являлась аналогом переработки сигнала в непрерывной системе. Такое разностное уравнение дискретной системы решается на цифровой вычислительной машине, моделируя такую переработку. Таким образом, этот метод является одним из видов аналогового моделирования.
Очевидно, что преимуществом этого метода, как и любого аналогового метода, является то, что проектировщики и моделисты находятся ближе к непрерывной системе, хотя они знают, что цифровая вычислительная машина вычисляет движение дискретной, а не непрерывной системы. Это является значительным обстоятель-
121
ством, так как инженер по моделированию не будет приписывать непрерывной системе свойств дискретной системы.
Последовательность чисел, образованная разностным уравнением, будет моделировать движение непрерывной системы, если проектировщик правильно просинтезирует дискретный аналог непрерывной системы. Правильный синтез моделирующей дискретной системы может обеспечить получение высокоэффективной близкой к шенноновской информационной предельной модели.
4.1. СИНТЕЗ ДИСКРЕТНОГО АНАЛОГА СИСТЕМЫ
На рис. 4.1 показан метод синтеза, который можно применить при моделировании непрерывной системы.
fit) X(t) Временная область
ffS) X(S) Частотная область
G(S)
а)
W) f(nt) *f(t) «X(t) Временная область
f(S) f*(S) ~f(S) ~X(S) Частотная область
Процесс перестройки сигнала G(S)
А Лреобразадатель"процесса,аналогичный преобразобателю нуледого порядна
fit) f(nt) -fit) ~f(s) ~X(i) Временная область
f(S) f*(S) *f(s) ~f(S) ~X(S) Частотная область
H(S) Ct(S) G(S)
б)
zz +
ф = *Ш (НСВ) т *Ы ш aWUat — f*(s) f(z) B(Z) bg+b,z ' + b2zz + —
bo
г)
Рис. 4.1. Синтез дискретной системы, аналога непрерывной системы:
а—этап 1; б—этап 2; в—этап 3; г—этап 4. Звездочкой отмечено, что цифровая компенсация может при необходимости применяться на выходе модулятора вместе H(s) непрерывной
компенсации на выходе
122
Этап L Составление структурной схемы непрерывной системы.
Этап 2. Включение квантизаторов вектора состояния на трактах интересующего входного сигнала. Если необходимо осуществить такой дискретный процесс, модулятор производит только пульсацию. Ясно, что это еще не является дискретным аналогом непрерывного процесса. Для того чтобы создать аналог непрерывного процесса в непрерывной системе, вводится процесс перестройки сигнала [H(s)] после каждого модулятора.
