Математическое и цифровое моделирование для инженеров и исследователей - Смит Дж.М.
Скачать (прямая ссылка):
Информационная "полоса частот
Cu-
2os J&f
-7Ґ
-2* -очі
-f(ju)
Информационная полоса часщот
Рис. 2 9. Частотные характеристики треугольного экстраполятора. Преимущества: нет фазового смещения или запаздывания сигнала, хорошее затухание с внешней стороны информационной полосы. Недостаток: затухание в самой информационной полосе
102
прерывной системы от цифровой машины и от аналоговой, возникнут определенные трудности.
Например, непрерывный процесс G(s) обладает следующей структурной схемой:
Ks)
G(S)
0(S)
где О — выходной сигнал системы, а / — входной сигнал.
Каждому дифференциальному уравнению, которое связывает значения сигналов на выходе и входе, может быть поставлено в соответствие разностное уравнение, которое с помощью функции H(z) связывает О и /.
Функция H(z) может быть получена из следующей последовательности:
1. Получение разностного уравнения на основании перехода в дифференциальных уравнениях к конечным разностям *.
2. С помощью Z-преобразования разностного уравнения.
3. Получение передаточной функции H(z) для разностного уравнения.
В этом случае мы можем сделать наглядной дискретную систему, которая аппроксимирует непрерывную систему с помощью структурной схемы
J(Z)
H(Z)
O(z)
После всех алгебраических преобразований бывает трудно связать функции H(z) и G (s) и, следовательно, G(s)—с физической сущностью моделируемой системы. Надо обладать определенной интуицией к физической системе, чтобы легко связать математическую модель и результат расчетов на вычислительной машине с физической системой, представленной G(s). Для многих случаев бывает совершенно невозможно связать функции H(z) с G(s) в физической системе.
Тем, кто проектирует непрерывную систему на цифровой вычислительной машине, известны неприятности, начинающиеся при проектировании системы второго порядка, которая даже при правильном моделировании все-таки будет вызывать необходимость найти моделирующее разностное уравнение, обладающее четырьмя дополнительными полюсами и двумя новыми нулями: результатом является просто подстановка достаточно точного числового интегратора третьего порядка в дифференциальное уравнение, которое описывает непрерывную систему второго порядка.
метояы^°ЖНО использовать также методы численного интегрирования или иные ды перехода от дифференциальных уравнений к разностным.
Рассмотрим систему на простом примере: X-{-X=f при х0=0,
которая имеет один действительный корень при —1. Передаточная функция этой системы имеет вид
X /
C(S)= -(S) = -
г $+1
У
S+1
Если использовать общепринятую формулу численного интегри* рования *
Xn=xn__i -f- — (3xn—i — Xn-. 2)
для интегрирования дифференциального уравнения, то можно пря^ мой подстановкой найти, что
Хп = Хп~1 + "Тр [3 (/Л-1 — Хп-\) — (fn-2 — хп-2)]
ИЛИ
7* 7*
— хл_2 = — (3/я«! — /л-г).
Производя Z-преобразование этого разностного уравнения, найдем, что
[^+(^-1)г-^]^(2)=^(Зг-1)/(2),
передаточная функция которого имеет следующий вид: x(z)_ (Г/2)(Зг-1)
/ (г) *2 + (37-/2 —1)^-7-/2 Таким образом, приходим к заключению, что
H(z).
f(S)
1
S + 1
X(S)
можно промоделировать на цифровой вычислительной машине при помощи соотношения
Цг)
(Т/2) (Jz-1)
Z1AdJ/2-1)г-т11
X(Z)
* Особенно при моделировании в реальном масштабе времени.
104
В связи с изложенным возникают следующие вопросы: «Как сделать систему, обладающую двумя полюсами и одним нулем, похожей на систему с одним полюсом?» и «Целесообразно ли проектирование непрерывной системы с помощью математической модели дискретной системы?»
Выходом из этой дилеммы является прежде всего то, что автор должен верить в возможность синтеза дискретного аналога непрерывного процесса. Затем необходимо связать функцию H(z) с G(s). Эти процессы первоначально были получены авторами Жюри, Ту, фаулером независимо (примерно в одно и то же время) и впоследствии обнаружены многочисленными инженерами, «рабочей задачей» которых был синтез гибридных информационных систем (а не гибридного моделирования на вычислительной машине), которые могут быть описаны разностными уравнениями. Разностные уравнения программировались на цифровой вычислительной машине, так что вычислительная машина оперировала с дискретным аналогом непрерывного процесса. Краеугольным камнем являлся процесс преобразования сигнала.
Рассмотрим следующий пример.
Дискретным аналогом непрерывной системы будет
f(s) 7
X(S)
Дискретизация сигнала на бходе
Перестройка сигнала на бходе
ffs) f(t)
ffz) f*(nT)
f(z)
Частотная область (40) Временная область (ВО)
ffS)) 40 ^fШ) ВО
Управление непрерывной системой с помощью непрерывной азункциц
f(S) X(S); 40
fit) 1 Xd) j ВО
*S+1
Выоорна на — Оьіходе. Этот элемент позволяет ком представить раз-* "остное уравнение,
5
тГА\ s J\s+l)~\z-t4*)'
105
Теперь можно утверждать следующее: Передаточная функция дискретной системы
имеет один полюс, как и функция G [s).
Полюс дискретной системы является полюсом плоскости s, отображенным в плоскости z, что видно из соотношения
? -л 0II(WIK)C'
