Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Смит Дж.М. -> "Математическое и цифровое моделирование для инженеров и исследователей" -> 32

Математическое и цифровое моделирование для инженеров и исследователей - Смит Дж.М.

Смит Дж.М. Математическое и цифровое моделирование для инженеров и исследователей. Под редакцией Чембровского О.А. — M.: Машиностроение, 1980. — 271 c.
Скачать (прямая ссылка): matmodicifmod1980.djvu
Предыдущая << 1 .. 26 27 28 29 30 31 < 32 > 33 34 35 36 37 38 .. 86 >> Следующая

A полюс ^ '
откуда следует, что
Коэффициент разностного уравнения является переходной матрицей для этой однопараметрической задачи.
Используется не метод численного интегрирования, а операторный метод. Этот способ является более предпочтительным, так кан сохраняет связь с физикой системы при цифровом моделировании лучше, чем чисто алгебраический способ.
Этот метод обсуждается дальше, в гл. 4.
2.9. УСТОЙЧИВОСТЬ ДИСКРЕТНЫХ СИСТЕМ
Устойчивость линейных дискретных систем с постоянными коэффициентами может быть изучена как в плоскости s, так и в плоскости Z.
В плоскости 5 критерием устойчивости может быть то, что полюсы системы находятся в ее левой половине. В дискретных системах предполагают, что система является устойчивой, если полюс расположен на плоскости z в области меньшей или равной единице. Этот критерий плоскости z вытекает из того факта, что левая по-
S-плоскость устойчивости Z-плоскость устойчивости
Lm 5
Lm z
Res
• Полюса фуннции G(s) д левой полуплос -кости указывают, что QJyHKU1UHG(S)k .устойчива
• Полюса (рункU1UU G(S) в правой полу плоскости указывают на то, что функция G(S) неустойчива
а)
• Полюса функции H(Z) находя-щиеся внутри единичной окру/кноcmи указывают на то, что функция H(Z) устойчива
RdZ
• Полюса функции H(Z) находящиеся с Онешней стороны единичной окружности показывают на то, что функция H(Z) неустойчива
Рис. 2.10. Условия устойчивости дискретной системы: а—условия устойчивости на плоскости s; б—условия устойчивости на плоскости z
106
Рис. 2.11. Устойчивая дискретная система. Типичные характеристики при: fl—полюса на действительной оси и б—комплексно сопряженные полюса
ловина плоскости 5 отображается внутренней частью единичной окружности на плоскости г. Все это представлено на рис. 2.10 и следует из соотношения
z=est.
Расположение полюса в плоскости s определяет характер протекания процесса во временной области, так же как и местонахождение полюса в плоскости г, что показано на графике рис. 2.11. Действительные полюсы, находящиеся на левой действительной полуоси, не обеспечивают решения эквивалентной заменяемой непрерывной системы (за исключением тех случаев, когда непрерывные системы заменяются дискретными, имеющими больший интервал, чем дискретность выборки). Дискретные системы, полюсы которых находятся на действительной оси в левой полуплоскости г, обычно не применяются при моделировании непрерывных систем.
2.10. УРАВНЕНИЯ СОСТОЯНИЯ ДИСКРЕТНЫХ СИСТЕМ
Выше мы видели, что линейные стационарные системы могут описываться векторно-матричными уравнениями
X = AX-)-BU;
Y = CX,
где X — вектор состояния; Y — вектор на выходе; U — вектор на входе; А, В, С — постоянные матрицы.
Решением данной системы уравнения может быть
t
X = eA(t-to) X (/0) + j е^(Н BU (т) dx.
to
Дискретные векторно-матричные уравнения могут быть получены из непрерывных векторно-матричных уравнений следующим образом. Допустим,
I = YiT при /z = 0, 1, 2,...
107
U(Z)^y*7' Преобразование і=з^> нулевого : T порядка,
~Х 1
-4?
7
Рис. 2.12. Образование вектора состояния при дискретной аппроксимации системы X=AXh-BU
Систему дифференциальных уравнений первого порядка будем решать с помощью разностного уравнения первого порядка. При этом значения экстраполированных параметров движения системы определяются по их текущим значениям. Это можно видеть из следующего:
пТ
Xn = eA(nT-to)X(t0)+^ eA<"r-^>BU(t)?/t;
(п+1)Т
X11+1 = e^ (^-'о)Х (Z0)+ f e*<»™--*>BU(t)rfT.

Сравнивая эти уравнения, видим, что
(п+1)Т
Xn+1= еАТ Xn + f eA<"r+r-*>BU(t)rft
пГ
^л+і = СХя+1. При постоянных коэффициентах системы
Ф=еАГ.
В и С вычисляются только один раз. Если интеграл решается численно (что является обычным способом в комплексных задачах), то подынтегральное выражение должно быть вычислено на каждом шаге. Альтернативой является применение разностного уравнения в векторно-матричной записи. Если синтезируется дискретная аппроксимация этой системы уравнения, то можно использовать методику получения разностного уравнения, изложенную в разд. 2.7.
Теперь рассмотрим непрерывный процесс, показанный на рис. 2.12. Он может быть упрощен до вида, показанного на рис. 2.13. Из этой модели очевидно, что X — это реакция системы на ступенчатые воздействия Un на входе. За ступенькой величина Un постоянная, так же как А, В, С.
Таким образом, интеграл может быть упрощен до следующего вида:
1OdT IBU11,
108
<s,^7 Преобразование
нулевого G(S)
т порядка
Рис. 2.13. Упрощенная структура системы, представленной на рис. 2.12
который легко получается. Тогда моделирующее разностное уравнение принимает вид
Подобные проработки могут быть сделаны и для нестационарной линейной системы. Но так как коэффициенты меняются со временем, возможны только незначительные упрощения, и уравнения преобретают менее простую структуру для понимания и применения. Мы упомянули о них ради полноты изложения.
ХЯ+1 = ФХЯ + Т\1Я, где Ф=е^
и
Часть II
ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ
МОДЕЛИРОВАНИЯ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
НА ЦИФРОВЫХ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫХ МАШИНАХ
Предыдущая << 1 .. 26 27 28 29 30 31 < 32 > 33 34 35 36 37 38 .. 86 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed