Функциональный анализ - Рудин У.
Скачать (прямая ссылка):
Главная цель оставшейся части этой главы состоит в изучении спектра компактного оператора TG^B(X). Основные результаты содержатся в теореме 4.25. Важную роль в нашем исследовании будут играть сопряженные операторы.
4.19. Теорема. Пусть X и Y—банаховы пространства. Оператор T G 33 (X, Y) компактен тогда а только тогда, когда компактен оператор Т*.
Доказательство. Допустим, что оператор T компактен. Пусть \Уп\ — последовательность точек единичного шара пространства Y*. Положим
їп(У) = <У, Уп> (У GY).
Так как | fn(у) — fn (у') |<||у—у' \\, то семейство функций {/J равностепенно непрерывно. Поскольку множество T (U) относительно компактно в Y (здесь, как и выше, U—единичный шар пространства X), из теоремы Асколи вытекает, что последовательность содержит подпоследовательность {In1}, равномерно сходящуюся на T(U). Заметим, что
Il TV,. - Т%. Il = sup I <Тх, Ifn- упу I = sup I fn. (Tx) -]nj (Tx) I
(верхняя грань берется по всем XGU)', поэтому в силу полноты пространства X* последовательность \Т*у*п} сходится. Таким
образом, оператор Т* компактен.
Обратное утверждение может быть доказано тем же самым методом, но, быть может, более поучительно вывести его из уже доказанного прямого утверждения.
120
часть 1. общая теория
Пусть ф: X—у X** и \j): Y—>Y**—изометрические вложения, ¦определенные, как в п. 4.5, формулами
Kx, х*У = Кх*, ф*> и <у> у*> = <у*, Цуу.
Тогда
<у*% ^>Тху = КТх, у*у = Кх, Т*у*у = кТ*у*, уху = ку*, Т**щу для всех X ? X и всех y*?Y*, так что
Если Xd1U1 то фх принадлежит единичному шару с/** пространства X**. Таким образом,
\pT(U)czT**(U**).
Предположим теперь, что оператор Т* компактен. Тогда, согласно уже доказанному, оператор T**: X**—>Y** тоже компактен. Следовательно, множество T** (U**) вполне ограничено, а потому вполне ограничено и его подмножество трТ (U). Так как — изометрия, то множество T (U) тоже вполне ограничено. Таким образом, оператор T компактен. Щ
4.20. Определение. Пусть M— замкнутое подпространство топологического векторного пространства X. Если в X существует такое замкнутое подпространство N, что
X = M-J-N и Mr\N = {0\,
то говорят, что подпространство M дополняемо в X vi что X является прямой суммой подпространств M и N; при этом иногда употребляют обозначение
X = MQ)N.
В гл. 5 мы приведем примеры иедополняемых подпространств. Здесь же нам понадобятся лишь следующие простые факты.
4.21. Лемма. Пусть M—замкнутое подпространство топологического векторного пространства X.
(a) Если пространство X локально выпукло и dimM<oo, то подпространство M дополняемо в X.
(b) Если dim (Х/М) < оо, то подпространство M дополняемо в X.
Размерность факторнространства Х/М называется коразмерностью подпространства M в X.
Доказательство, (а) Пусть {et1 ...,<?„} — базис подпространства М. Тогда всякий вектор х?М допускает единственное представление в виде
X = CL1(X)C1 + ... ап(х)еп, где каждый из коэффициентов aj является непрерывным линейным функционалом на M (теорема 1.21) и, стало быть, по теоре-
гл. 4. двойственность b банаховых пространствах
121
ме Хана — Банаха может быть продолжен до некоторого непрерывного линейного функционала на всем пространстве X. Выберем для каждого а,- одно из таких продолжений и пусть W — пересечение ядер всех функционалов л:* (\^i^.n). Тогда X = MQ)N.
(Ь) Пусть л: X—>Х/М—факторотображение, и пусть {<?,, ...,<?„}—базис в пространстве XjM. Выберем такие векторы X1-? X, что TiX1- = е( (I я), и пусть N — подпространство в X,
порожденное векторами хЛУ Тогда X — M{QN. §fl
4.22. Лемма. Пусть M—такое подпространство нормированного пространства X, что МфХ. Тогда для любого г > 1 найдется такой вектор х^Х, что
IIх Il < г и \\х—У Il ^ * для всех У?М.
Доказательство. Существует вектор X1 (E X, находящийся на расстоянии 1 от подпространства М, т. е.
infillJf1-^II: у?М\ = 1.
Выберем такой вектор уг?М, что Hx1 — Уі\\<.г, и положим X = X1 f/j. Щ
4.23. Теорема. Пусть X—банахово пространство. Если оператор T^ZB(X) компактен и X Ф 0, то образ оператора T—XI замкнут.
Доказательство. По утверждению (d) теоремы 4.18 подпространство JV (T—XI) конечномерно. Поэтому, согласно утверждению (а) леммы 4.21, пространство X является прямой суммой подпространства JV (T—XI) и некоторого замкнутого подпространства М. Определим оператор 5: M—>Х, полагая
(1) Sx=-Tx-Xx (жЄ M).
Тогда оператор S инъсктивен (на М). Кроме того, 91 (S) = = 91 (T—XI). Чтобы показать, что подпространство tA (S) замкнуто, достаточно доказать существование такого г > 0, что
(2) г II X |К И Sx И для всех х?М.
Действительно, если условие (2) выполняется и если {Sxn} — последовательность Коши, то {хп\ тоже является последовательностью Коши; так как M — замкнутое подпространство полного пространства X, то отсюда следует полнота M(S).
Если условие (2) не выполняется ни при каком г > О, то в M существует такая последовательность \хп), что ||хя|| = 1, Sxn—>O и (после перехода к подходящей подпоследовательности) Txn—>х0 для некоторого вектора х{ ? X (именно здесь мы воспользовались компактностью оператора T). Отсюда следует, что Xxn—*хй. По*
