Функциональный анализ - Рудин У.
Скачать (прямая ссылка):
122
часть 1 .общая теория
этому X0 € M и
Sx0 = Wm {KSxn) = 0.
Так как оператор S на M инъективен, то x0= 0. Но ||х„|| = 1 для всех п, а х0 = lim Xxn, так что ||я0|| = |Я|> 0. Полученное противоречие показывает, что при некотором г > 0 условие (2) выполняется. 0
4.24. Теорема. Пусть X—банахово пространство, оператор T ? S3 (X) компактен, г>0 и E—множество всех собственных значений X оператора T, удовлетворяющих условию | X | > г. Тогда
(a) Si (T—%1)фХ для всякого Х? Е,
(b) множество E конечно (быть может, пусто).
Доказательство. Сначала мы покажем, что если хотя бы одно из условий (а) или (Ь) не выполняется, то существуют такие замкнутые подпространства Mn пространства X и такие скаляры Xn ? Е, что
(1) M1CzM2C=M3Cz..., МпфМп+х,
(2) T(Mn)CiMn при п>1,
(3) (T-XnI)Mncz Mn^1 при гс>2.
Затем мы покажем, что это противоречит компактности оператора T, и тем самым доказательство будет окончено.
Предположим, что утверждение (а) неверно. Тогда Si (T—A4/) — = Х для некоторого Х0?Е. Положим S = T—X0I и возьмем в качестве Mn ядро оператора S'1 (см. п. 4.17). Так как X0—собственное значение оператора T, то существует ненулевой вектор X1^M1. Так как Si(S) -=Х, то в X найдется такая последовательность {хп}, что Sxn + 1=Xn при п = 1, 2, 3, ... . Тогда
(4) 5"xn+1-x1=^O1 но 5"+1 jcn+1 = Sx1 = O.
Следовательно, Mn является собственным замкнутым подпространством в Mn+1 и условия (1) — (3) выполняются с Xn = X0. [Заметим, что условие (2) выполняется благодаря тому, что ST = TS.] Допустим теперь, что утверждение (Ь) неверно. Тогда множество E содержит последовательность {Xn) различных собственных значений оператора Т. Выберем соответствующие им собственные векторы еп и возьмем в качестве Mn (конечномерное и потому замкнутое) подпространство пространства X, порожденное векторами е1У ..., еп. Так как числа Xn различны, то векторы е{, ..., еп в совокупности линейно независимы, а потому Mn^1 является собственным подпространством в Mn и условие (1) выполняется. Если X ? Mn, то
x = (x1c1+ ... -\-апеп,
гл. 4. двойственность b банаховых пространствах 123.
откуда следует, что Tx € Mn и
(T — XnI) X = Ct1 (A1—*,„) c1 + ... -Ь ап _ 1 (Kn_, — In) еп _! € -1.
Таким образом, выполняются также условия (2) и (3).
Коль скоро имеются замкнутые подпространства Mn, удовлетворяющие условиям (1) — (3), то из леммы 4.22 следует, что для каждого я ^ 2 найдется такой вектор уп?Мп, что
(5) II2 и \\уа — х\\^1 для всех XGMn^1. При 2 т < п положим
(6) Z = Tyn-(T-XnI) уп.
Из (2) и (3) следует, что z?iMn_l, а тогда в силу (5)
Il Tyn-Tyn И = И кпУп-г И = I Xn I Il yn-X?z|| > |Xn | > г.
Поэтому последовательпость {Tyn] не содержит сходящихся подпоследовательностей, хотя последовательность {уп\ ограничена. На это противоречит компактности оператора Т. Q
4.25. Теорема. Пусть X—банахово пространство, и пусть-оператор T ?33 (X) компактен.
(a) Если ХфО, то четыре числа
a = dim <^ (T-XI),
?-dim Х/Я(Т—ХІ), a* = u\mc№(T*—XI), ?* = dimX*/^ (T*—XI)
конечны и равны друг другу.
(b) Если Хф0 и Х?о(Т), mo X является собственным значением операторов T и Т*.
(c) Множество о (T) компактно, не более чем счетно и не имеет предельных точек, кроме, быть может, точки 0.
Примечание. Под размерностью векторного пространства здесь понимается неотрицательное целое число или символ оо. Буква / употребляется для обозначения тождественных операторов в обоих пространствах X и X*; таким образом,
(T—XI)* = Т*—XI* — Т*—XI,
ибо сопряженным к тождественному оператору в X служит тождественный оператор в X*.
Спектр о (T) оператора T был определен в п. 4.17. В теореме 4.24 содержится следующий частный случай утверждения (а) теоремы 4.26: если ?=0, то а = 0. Мы воспользуемся этим ниже при доказательстве неравенства (4).
Следует отметить, что спектр о (T) любого (а не только компактного) оператора Т?^(Х) компактен (теорема 10.13); однако
124
часть 1. общая теория
для справедливости других утверждений о спектре, приведенных в (с), компактность оператора T существенна.
Доказательство. Для упрощения записи положим 5 = = T—kl.
Начнем с простого наблюдения, относящегося к фактор пространствам. Пусть M0-замкнутое подпространство локально выпуклого пространства Y, a k—такое неотрицательное целое число, что ^ ^ dim К/Ai1,. Тогда в Y найдутся такие векторы у1% ...,ук, что ¦если Mj—наименынге подпространство в Y, содержащее M0 и векторы ух, .. ., у у, то M1^1 является собственным подпространством в M1- (1 ^k). По теореме 1.42 каждое из подпространств M1-замкнуто. Согласно теореме 3.5, на Y существуют такие непрерывные линейные функционалы A1, ...,ЛА, что Л,-г/, = 1 и Л,-*/ = О для всех у ? M;_v Эти функционалы линейно независимы. Поэтому мы приходим к следующему выводу: если 2—пространство всех непрерызчых линейных: функционалов на Y, аннулирующих подпространство M0, то
(1) dimK/M0<dirn2.
Применим это к пространству Y = X и подпространству M0 = = M(S). По теореме 4.23 подпространство M(S) замкнуто. Кроме того, по теореме 4.12, 2 = M (S)1- = оАГ (S*), так что неравенство (1) принимает вид
