Функциональный анализ - Рудин У.
Скачать (прямая ссылка):
7. Пусть L1 — обычное пространство интегрируемых относительно меры Лебега функций на замкнутом единичном отрезке J, и пусть 7^3} (L1, Y)r так что T*?&(Y*, L°°). Допустим, что ffi (T*) содержит все непрерывные функции на J. Что в этом случае можно сказать о 77
8. Доказать, что (ST)* = T*S*. Сформулировать условия, при которых это имеет смысл.
9. Пусть S?&(X) и Т?&{Х).
гл. 4. двойственность в банаховых пространствах
127
(a) Показать на примере, что из ST = I не следует, вообще говоря, что TS = /.
(b) Считая T компактным, показать, что S(I— T)-I тогда и только тогда, когда (/ — T)S-I1 и что если выполняется хотя бы одно из этих равенств, то оператор / — (/ — T)-1 компактен.
10. Доказать, что если поле скаляров есть С или если dimX = oo, то спектр о (T) любого компактного оператора T ? с® (X) непуст. Однако если dim X < оо, а поле скаляров есть R, то спектр оператора Т?<?&(Х) может быть пустым.
П. Показать, что в случае dim X < оо равенство a = ?, доказанное в теореме 4.25, сводится к утверждению, что ранг квадратной матрицы «по строкам» совпадает с ее рангом «по столбцам».
12. Предположим, что образ M (T) оператора T?o?(X, Y) замкнут в Y. Доказать, что
dim oV* (T) = dim Х*№ (Г*), dim (Г*) = dim YiM(T).
Эти соотношения обобщают равенства a = ?* и cc* = ?, доказанные в теореме 4.25.
13. (а) Пусть Т?&(Х, Y), Тп?&(Х, Y) (я = 1, 2, ...), причем образы всех операторов Tn конечномерны и lim \\Т—7"„H=O. Доказать, что опс-
П->00
ратор T компактен.
(Ь) Доказать, что если пространство Y гильбертово, то справедливо обращение утверждения (а): всякий компактный оператор Т?<5&(Х, Y) может быть аппроксимирован (по операторной норме) операторами с конечномерными образами 1J. Указание: для любого замкнутого подпространства M гильбертова пространства Y существует проектор п: Y —>- M с нормой 1 (см. теоремы 5.16 и 12.4).
14. Определим в пространстве I2 оператор сдвига 5 и оператор умножения М, полагая
і 0, если я = О, (Sx) (п) = <
[ Х(П—І), ЄСЛИ /!^ 1,
(Mx) (я) = (я-f-1)-1 X (п) для всех Я ^sO.
Пусть T = MS. Показать, что T—компактный оператор, не имеющий собственных значений, и что его спектр состоит из единственной точки. Вычислить нормы \\ТП\\ (я=1, 2, 3, ...) и предел lim || Тп \\х/п.
П-У<Х
15. Пусть J.I — конечная (или а-конечная) положительная мера на пространстве ?, a Jj,Xи, — порожденная ею мера-произведение на Qx^, и пусть
х) Довольно долго оставалось неизвестным, верно ли, что для любого сепарабельного банахова пространства X каждый компактный оператор T?<i?(X) аппроксимируется (по операторной норме) операторами с конечномерными образами (такие операторы иногда для краткости называют конечномерными; близкие вопросы имеются уже в книге Банаха [4, 5]). Лишь в 1972 г. М. Энфло построил рефлексивное сепарабельное банахово пространство X, для которого это неверно. Заметим (это простое следствие уже сказанного), что в этом пространстве X не существует базиса (т. е. такой последовательности {хп}, что каждый вектор х^Х однозначно представим
сходящимся по норме рядом X=^jCtnXn).— Прим. перев.
128
часть 1. общая теория
К 6 L2 (ц X и.). Положим
(Tf) (S) = J /с («, о / (/) Ф (0 (/ € V 00).
(a) Доказать, что T?(L2 (и.)) и
(b) Пусть a,-, bj (\ ^ і^n)— элементы пространства L2(p); положим
K1(S, t) = ^ai (s) bj (t) и определим оператор T1 по функиии Ki так же, как по функции К определен оператор Т. Доказать, что dim, Si.(T1)^п.
(c) Доказать, что T—компактный оператор в L2 (\и). Указание: воспользуйтесь упр. 13.
(d) Пусть А?С, К Ф 0. Доказать, что либо для каждого g?^2(u.) уравнение
имеет единственное решение I?L2 (и.), либо для некоторых ? это уравнение имеет в U (ц) бесконечное множество решений, а для других g не имеет их вовсе. [Это утверждение называется альтернативой Фредгольма.\
(e) Описать сопряженный к T оператор.
16. Пусть
Г (1 — S)/, если (X/sSs, К (s, t)= <
\ (1—/)s, если s</< 1;
определим оператор 7"?й9 (Vі (0, I)), полаїая
і
(Tf)(S)=^K(S, 0f(t)dt (f?L2(0, 1), 0<*<1). о
(a) Показать, что собственные значения оператора T суть (шт)-2,
2, 3, причем для каждого из них соответствующее собственное подпро-
странство одномерно и порождается собственной функцией sin плх. Указание: если К Ф 0 и функция /?L2(0, 1) удовлетворяет уравнению Tf = Xf, то она бесконечно дифференцируема на [0, 1J, удовлетворяет дифференциальному уравнению Xf"-\-f = 0 и условиям /(0) = /(1) = 0; случай K = O можно исследовать отдельно.
(b) Показать, что указанные выше собственные функции образуют ортогональный базис в пространстве L2 (0, 1).
(c) Исследовать уравнение Tf — Kf = g} где g (t) — ^с„ sin tint.
(d) Показать, что оператор T действует также в пространстве С всех непрерывных функций на [0, 1] (с sup-нормой) и компактен в этом пространстве. Указание: если последовательность непрерывных функций <{/,-} равномерно ограничена, то последовательность {Tfi\ равностепенно непрерывна.
17. Пусть L2 = L2(0, оо) относительно меры Лебега, и пусть
s
(Tf)(S) =1J f(t) dt (/G^2. 0<s<co).
