Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Рудин У. -> "Функциональный анализ" -> 42

Функциональный анализ - Рудин У.

Рудин У. Функциональный анализ — М.: Мир, 1975. — 449 c.
Скачать (прямая ссылка): funkcanaliz1975.djvu
Предыдущая << 1 .. 36 37 38 39 40 41 < 42 > 43 44 45 46 47 48 .. 171 >> Следующая

Следует подчеркнуть, что для рефлексивности пространства X мало того, чтобы существовал какой-нибудь изометрический изоморфизм ф пространства X на пространство X**; нужно еще,, чтобы этот изоморфизм удовлетворял условию (1).
4.6. Аннуляторы. Пусть X — банахово пространство, M — подпространство в X, a N— подпространство в X*; ни М, ни N не предполагаются замкнутыми. Аннуляторы M1 и 1N подпространств MeN соответственно определяются следующим образом::
М± = {х*€Х*: <х, х*> = 0 для всех х?М\,
1N = IxZX: <*, х*> = 0 для всех х* ? N}.
гл. 4. двойственность в банаховых пространствах ДО9
Таким образом, M1 состоит из всех ограниченных линейных функционалов на X, равных 0 на М, a 1N есть максимальное подмножество в X, на котором все функционалы из W равны 0. Ясно, чго M1 и -L/V являются подпространствами в X* и X соответственно. Так как подпространство M1 совпадает с пересечением ядер функционалов щ по всем X ? M (см. п. 4.5), то оно слабо* замкнуто в X*. Еще проще доказывается, что 1ZV — сильно замкнутое подпространство в X. В следующей теореме описывается двойственность между этими двумя типами аннуляторов.
4.7. Теорема. Пусть M — подпространство банахова пространства X, a N —подпространство сопряженного пространства X*. Тогда
(a) -L(Af-L) совпадает с сильным замыканием MeXu
(b) (-LjV)-L совпадает со слабым* замыканием N в X*.
В связи с утверждением (а) напомним, что сильное замыкание подпространства M в X совпадает, по теореме 3.12, с его слабым замыканием.
Доказательство. Если х?М, то х*>- 0 для всех x*?AfJ, так что X^-L(TW-L). Так как подпространство 1 (M-L)
сильно замкнуто, то оно содержит сильное замыкание M подпространства М. С другой стороны, если X M, то по теореме Хана — Банаха найдется такой функционал я* (E-M1, что <Х х*>фОу так что х(? 1 (M1). Утверждение (а) доказано.
Аналогично если x*?N, то <л% х*> = 0 для всех X^1N, так что х* € (1ZV)1. уак кач подпространство (1N)1- слабо* замкнуто,
то оно содержит слабое* замыкание N подпространства N. Если #*(?Л/, то из теоремы Хана--Банаха (в применении к локально выпуклому пространству X* в его слабой* топологии) следует существование такого') X^1N, что <% х*>Ф0. Таким образом, л:* ? (1N)-L, и утверждение (Ь) доказано. Щ
Отметим в качестве следствия, что каждое сильно замкнутое подпространство пространства X совпадает с аннулятором своего аннулятора и что то же самое верно для любого слабо* замкну* того подпространства пространства X*.
4.8. Сопряженные пространства подпространств и факторпро-странств. Если M — замкнутое подпространство банахова пространства X, то факторпрострапство XjM также является банаховым пространством относительно факторнормы, определенной при доказательстве утверждения (d) теоремы 1.41. Сопряженные
]) Напомним, что каждый слабо* непрерывный линейный функционал на X* порождается некоторым элементом х?Х (см. п. 3.14).— Прим. перее.
UO часть 1. общая теория
пространства для M и Х/М могут быть описаны с помощью аннулятора ML подпространства М. Грубо говоря, результат состоит в том, что
М* = A*/M-L и (Х/М)* = M-L;
в действительности равенства следует заменить изометрическими изоморфизмами. В следующей теореме приводится точная формулировка.
4.9. Теорема. Пусть M—замкнутое подпространство банахова пространства X.
(a) По теореме Хана—Банаха каждый функционал т*?М* продолжается до некоторого функционала х* € X*. Положим
от* = х* + ML.
Эта формула корректно определяет отображение о: М* —> X*jM-L, которое оказывается изометрическим изоморфизмом М* на Х*/Мх.
(b) Пусть я: X—» Х/М—факторотображение, и пусть Y = XJM. Для каждого y*?Y* положим
%у* — у*п.
Тогда т является изометрическим изоморфизмом пространства У* на M-L.
Доказательство, (а) Если х* и х*—два продолжения функционала т*, то х*—xl?ML, так что х*-\-М±=х*-{- MK Следовательно, отображение а определено корректно. Тривиальная проверка показывает, что оно линейно. Так как сужение каждого функционала х* ^X* на подпространство M принадлежит M*, то образ отображения а совпадает со всем пространством Х*/МК
Фиксируем т*?М*. Если я*ЄX*—любое продолжение функционала т*, то ясно, что || т* || ^ || х* ||. По определению фактор-нормы точная нижняя грань чисел || х* || по всевозможным продолжениям х* функционала т* равна ||** + M-L||. Следовательно,
Il т* |К Il х* + M J- Il = Il от* К < И х* \\.
Но по теореме 3.3 существует такое продолжение х* функционала т*, что ||**|| = ||/я*||. Поэтому || от* || = || т* ||, что завершает доказательство утверждения (а).
(Ь) Если X? X, то nx?Yf причем л;т=0для всех т?М. Поэтому для каждого у*?Y* отображение х—>у*пх задает непрерывный линейный функционал ту* на пространстве X, равный на М. Таким образом, iy*?ML. Линейность отображения т очевидна. Фиксируем функционал x*?M-L, и пусть N—его ядро. Так как M cz )V, то существует такой линейный функционал Л на У, что Ал=х*. Ядром функционала Л служит подпространство я (АО,
гл. 4. двойственность в банаховых пространствах Щ
которое, по определению фактортопологии в Y = XJM1 замкнуто в Y. По теореме 1.18 функционал Л непрерывен, так что Л € Y* и тА = Лп=х*. Следовательно, образ отображения т совпадает с MJ-.
Предыдущая << 1 .. 36 37 38 39 40 41 < 42 > 43 44 45 46 47 48 .. 171 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed