Функциональный анализ - Рудин У.
Скачать (прямая ссылка):
1J Отображение множеств /: X—>Y называется инъективным (сюръек-тивным), если f (X1) Ф f (х.,) для любых двух различных элементов X1, х2?Х (соответственно, если f (X) = Y) Отображение /, одновременно инъсктивное и сюръективнос, называется биективным. Ясно, что для линейного оператора инъективность равносильна тому, что его ядро тривиально (т. е. состоит из единственной точки Oj.— Прим. перев.
114
часть 1. общая теория
Фиксируем U1GiV. Выберем числа є„ > 0 так, чтобы
І ев<1-Ы|.
п = 1
Допустим, что для некоторого п ^ 1 вектор уп уже выбран. Существует такой вектор Xn G X, что || Xn || < ||#п || и || уп—Txn || < єп. Положим
Уп 11 ~?/и Txn.
С помощью этого процесса мы по индукции определяем две последовательности \хп) и Заметим, что
ІІ^ + іІКІІУ„ + іІІ = |ІУв-^„ІІ<еи.
Поэтому
? 1ЫК1М1 + 2 «К Il </* Il + 2е,<і.
п= 1 п=і л — 1
Отсюда следует (см. упр. 23), что вектор1) х — ^xn принадлежит U и что
n n
Tx= Hm 2 7X = Hm 2 (Уп—Уп+і) = Уі,
Л'->-сс л = 1 Л'->со л=1
ибо yN+1—> O при .А/—^ со. Таким образом, у1 = ТхGT(U) и утверждение (а) доказано.
Отметим, что приведенное выше рассуждение представляет собой приспособленный к менее общей ситуации вариант части доказательства теоремы об открытом отображении 2.11.
(Ь) Обозначим через E замыкание множества T (U) и выберем какую-нибудь точку у0 G Y\E. Так как множество E замкнуто, выпукло и уравновешено, то из теоремы 3.7 следует существование такого функционала у* GY*, что
\<У* #*>|<1 <|<#о, У*>\ для всех у^E. Если x?U, то TxGE, так что
|<Х ГУ>|--=|<^, 0*>|<1. Отсюда следует, что
с\\у*\\<Т*у* ||< 1,
и потому
КKi/«, </*>КIli/oIlIlI/*IKc-1II0оII,
ил и Il у о Il > с. Таким образом, cV с E и (Ь) следует из (а). Щ
1) Именно в этом месте доказательства используется пол пота пространства X. — Прим. перев.
гл. 4. двойственность в банаховых пространствах Ц5
4.14. Теорема. Если X и Y—банаховы пространства, а T ? SS(X, Y), то каждое из следующих трех условий влечет за собой два других:
(a) M (T) замкнуто в Y;
(b) ZA(T*) слабо* замкнуто в X*;
(c) 91(T*) сильно замкнуто в X*.
Замечание. Из теоремы 3.12 следует, что (а) выполняется тогда и только тогда, когда M (T) слабо замкнуто. Однако сильно ¦замкнутое подпространство в X* может не быть слабо* замкнутым (см. упр. 7 гл. 3).
Доказательство. Очевидно, что из (Ь) следует (с). Мы докажем, что из (а) следует (Ь) и что из (с) следует (а).
Предположим, что выполняется условие (а). По теореме 4.12 и утверждению (Ь) теоремы 4.7 подпространство оЛГ (T)1 совпадает со слабым* замыканием подпространства M (T*). Поэтому для доказательства (Ь) достаточно показать, что off (T)1CiM (T*).
Фиксируем х*(T)1- Формула
ATx = <*, х*> (х?Х)
корректно определяет линейный функционал Л на M(T), так как если Tx = Tx', то X—х' (T) и потому
<х—X', х*>=0.
Но мы предполагаем, что M (T) замкнуто, а пространство Y полно, поэтому M (T) тоже полно и к оператору
Т: X-^M(T)
применима теорема об открытом отображении. Следовательно, существует такое К < оо, что для всякого у ^M(T) найдется вектор X ? X, удовлетворяющий условиям Tx = у и И X Il К \[У\\\ поэтому
\Ау\ = \АТх\ = \<х, **>|</С||0||||**Ц.
Таким образом, функционал Л непрерывен. Пусть у* ?Y* — некоторое продолжение функционала Л на пространство Y (по теореме Хана—Банаха такое продолжение существует). Тогда
<Тх, у*>=АТх = <х, х*> (х?Х),
откуда следует, что
х* = Т*у*.
Так как л:* был произвольным элементом из (N(T)1, то мы доказали, что cIV (T)1CzM (T*). Поэтому из (а) следует (Ь).
Предположим теперь, что выполняется условие (с). Пусть Z—замыкание M (T) в Y. Определим оператор S?S/3(X, Z), полагая Sx = Tx. Так как M(S) всюду плотно в Z, то из следствия
116
ЧАСТЬ i. общая теория
(b) теоремы 4.12 вытекает, что оператор
S*: Z*-^X*
инъективен.
По теореме Хана — Банаха для всякого г* ?Z* существует продолжение у* ? У*; при этом для любого х?Х
<х, Т*у*> = <Тх, y*> = <Sx, y*> = <Sx, 2*> = <X S*z*>.
Поэтому S*z*~ T*y*. Отсюда следует, что образы операторов S* и Т* совпадают. Так как мы предполагаем, что выполняется условие (с), то подпространство 91(S*) замкнуто в X* и потому полно.
Применим теорему об открытом отображении к оператору
S*: z*—±Я (S*),
учитывая при этом, что он биективен; в результате мы заключаем, что существует постоянная с > 0, для которой
C||Z*|K||S*2* И
при всех г* ?Z*. В силу утверждения (Ь) леммы 4.13 отсюда следует, что отображение S: X —> Z открыто. В частности, S (X) = Z. Но 91(T) = Sl(S) по определению S. Таким образом, 9i(T)=Zr так что 91(T) — замкнутое подпространство в У. Это завершает доказательство импликации (с)=>(а). g|
Следующая теорема весьма полезна в приложениях.
4.15. Теорема. Пусть X и Y—банаховы пространства, и пусть T ?ЗВ(Х% У). Тогда следующие утверждения эквивалентны:
(a) 9i (T) = Y;
(b) существует такая постоянная с > 0, что ||Г**/*||^гс||#*|| для всех у* ?Y*.
Доказательство. Утверждение (а) равносильно тому, что подпространство 91 (T) замкнуто и всюду плотно в К. Поэтому из теоремы 4.14 и следствия (Ь) теоремы 4.12 вытекает, что (а) эквивалентно следующему утверждению:
