Функциональный анализ - Рудин У.
Скачать (прямая ссылка):
24. В ситуации, описанной в теореме 3.27, рассмотрим непрерывное .линейное отображение T пространства X в такое топологическое векторное пространство Y1 для которого Y* разделяет точки. Доказать, что
$(77) dli = T^fdli.
Q Q
Указание: AT?Х* для любого ЛGК*.
25. Пусть E— множество всех крайних точек компактного выпуклого подмножества К такого топологического пространства X, для которого X*
разделяет точки. Доказать, что для каждой точки у?К на компакте Q = E ліайдется такая регулярная борелевская вероятностная мера ju, что
у— J xdiL(x).
26. Пусть ? — область в С, X — комплексное пространство Фреше, а $: Q -»-X — голоморфная функция.
(a) Сформулировать и доказать теорему о представлении функции / стеленными рядами вида — ?)" с«> гле сп?Х-
(b) Распространить теорему Морера на функции со значениями в X.
(c) Если последовательность комплексных голоморфных в Q функций равномерно сходится на компактных подмножествах области Q, то ее предел является голоморфной в Q функцией. Обобщается ли это на голоморфные ¦функции со значениями в X?
27. Пусть {а;}— ограниченное множество различных комплексных чисел,
со
f(z) = 2C«Z" —таКая Целая функция, что Cn фО при всех п, и
Sі- (z) = f (се,*).
Дрказать, что векторное пространство, порожденное функциями g/, всюду плотно в пространстве Фреше H (С), определенном в п. 1.45.
104
часть 1. общая теория
Наводящее соображение. Пусть ц.—такая мера с компактным носителем,, что ^ gi d\x = 0 для всех і, и пусть
ф (w) = / (wz) d\i (z) 0?С).
Докажите, что <р(о>) = 0 для всех w. Выведите отсюда, что ^ zn d\i (z) = 0 приз
/1=1,2,3,... . Воспользуйтесь результатами упр. 14.
Опишите замкнутое подпространство пространства H(C)7 порожденное функциями g{, в случае, когда некоторые из коэффициентов Cn равны 0.
28. Пусть X—пространство Фреше (или, в более общем случае, метри-зуемое локально выпуклое пространство). Доказать следующие утверждения:
(a) Пространство X* является объединением счетного числа слабо* ком--пактных множеств En.
(b) Если пространство X сепарабельно, то каждое слабо* компактное множество в X* метризуемо, слабая* топология в А'* сепарабельна и некоторое счетное подмножество пространства X* разделяет точки в X. (Ср. о: упр. 15.)
(c) Если К—слабо компактное подмножество пространства X и х0?К— слабая предельная точка некоторого счетного множества EczK.to существует последовательность {хп\ точек множества ?, слабо сходящаяся к точке х0. Указание: пусть Y—наименьшее замкнутое подпространство в X, содержащее E^ примените к Y утверждение (Ь) и покажите, что на множестве Kf]Y слабая* топология метризуема.
Замечание. Суть утверждения (с) состоит в том, что оно гарантирует существование сходящейся к х0 подпоследовательности, а не подсети. Отметим,, что существуют компактные хауедорфовы пространства, в которых ни одна последовательность различных точек не является сходящейся.
29. Пусть C(K) — банахово пространство всех непрерывных комплексных; функций на компактном хаусдорфовом пространстве К с sup-нормой. Для» каждого р?К определим функционал Ар?С(К)*, полагая Apf=f(p). Показать, что отображение р—*Ар является гомеоморфизмом компакта К в пространство C(K)*, снабженное слабой* топологией. Поэтому утверждение (с> упр. 28 не распространяется на слабо* компактные множества.
Глава 4
ДВОЙСТВЕННОСТЬ В БАНАХОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
Нормированное сопряженное к нормированному пространству
Введение. Если X и Y—топологические векторные пространства, то через S(X, Y) будет обозначаться совокупность всех ограниченных линейных отображений (или операторов) из X в К. Для простоты вместо SB (X, X) будет употребляться сокращенное -обозначение SB {X). Множество SB (X, Y) само является векторным пространством относительно обычных операций сложения функций и умножения их на скаляры. (При этом играет роль лишь наличие структуры векторного пространства в К, а не в X.) Вообще говоря, имеется много способов, позволяющих превратить 33 (X, Y) в топологическое векторное пространство.
В этой главе мы будем иметь дело лишь с нормированными пространствами X и Y. В этом случае пространство ffi (X1Y) само может быть нормировано очень естественным способом. В частном случае, когда Y есть поле скаляров, так что SB(X, Y) •совпадает с сопряженным пространством X* пространства X, естественная норма в SB(X, Y) определяет в пространстве X* топологию, которая оказывается сильнее его слабой* топологии. Связь между банаховым пространством X и его нормированным сопряженным пространством X* и составляет главный предмет исследования этой главы.
4.1. Теорема. Пусть X и Y—нормированные пространства. Сопоставим каждому оператору А?ЗВ (X, Y) число (1) I! Л H= sup {Il Л* ||: х?Х, IUIKl},
называемое его нормой. Это определение превращает SB (X, Y) в нормированное пространство. Если пространство Y банахово, то пространство SB(X, Y) тоже банахово.
Доказательство. Так как подмножество нормированного пространства ограничено тогда и только тогда, когда оно содержится в некотором шаре с центром в нуле, то И Л И <оо для всякого Л ? SB(X, Y). Если а —скаляр, то (аЛ) (х) -~=а-Ах, так что
