Функциональный анализ - Рудин У.
Скачать (прямая ссылка):
Фиксируем у* € У*. Если у ?У, ||#||=1 и г > 1, то (по определению факторнормы в XjM) найдется такой вектор X0 ?Х, что пх0 = у и Il ха Il < г. Поэтому
\<У> У*>\ = 10*я*о I = I iif 'X01 < Il iy* Il Il X01|< г I) т#* у,
откуда следует, что
Il <т IKIH4II-
С другой стороны, Il пх |К IIх Il Для всех х?Х. Поэтому
Il -ЧҐХ Il = II У*пх К < И у* Il К пх И < Il у* II \\X К, откуда следует, что
Il таг* IK HiTII-B
Сопряженные операторы
Каждому оператору 7" € S(X5 У) мы сопоставим некоторый оператор Т* ? & (У*, X*), называемый сопряженным оператором, и посмотрим, как различные свойства Г отражаются на поведении Г*. Если пространства X и У конечномерны, то каждый оператор Г ? S(X1 Y) может быть представлен матрицей [T]; в этом случае [T*] оказывается транспонированной к [T] матрицей при условии, что базисы в каждой паре векторных пространств X, X* и У, У* выбраны согласованно. Мы не будем уделять специального внимания конечномерному случаю, однако заметим, что исторически именно линейная алгебра послужила основой (и в значительной степени прообразом) предмета, известного ныне иод названием «теория операторов».
Многие нетривиальные свойства сопряженных операторов связаны с полнотой пространств X и У (в частности, важную роль играет теорема об открытом отображении). По этой причине всюду в этом параграфе (за исключением теоремы 4.10, которая дает определение сопряженного оператора T*) предполагается, что X и У—банаховы пространства.
4.10. Теорема. Пусть X и Y—нормированные пространства. Для каждого оператора T ? 53 (X, Y) существует единственный оператор Т*? 53 (У*, X*), удовлетворяющий при всех х?Х и всех y*?Y* условию
(1) <Тх, ?/*> = <*, Т*у*>, Кроме того, справедливо равенство
(2) 117¦•1I = IIT1II.
112
часть 1. общая теория
Доказательство. Если T € 33 (К, Y)1 то для всякого у* € У* положим
(3) Т*у* = у*оТ.
Будучи композицией двух непрерывных линейных отображений, Т*у* ? X*. Кроме того, для всех х ? X
<х, 7>*> = (THf) (X) = У (Tx) = <Тх, if у,
что совпадает с (1).
Если y*t(zY* и у\? К*, то
<х, T*ta + yl)> = <Tx,yl+yl> = <Tx, у\> \-<Тх, //*> =
= <*, т^> + <*, 7>2*> = <*, т*уї+т*уі>
для всех #?Х, так что
(4) г* (tf+tf) ==7^+71?
Аналогично проверяется, что Г* (ау*) = аТ*у*. Следовательно, отображение T*: Y*—» X* линейно. Если л:*(ЕХ* и
<Тхуу*> = <х, х*> для всех X € X, то Ос, х*> = Г*у*> для всех X ? X, так что х* = Т*у*. Отсюда следует, что построенный оператор Г* является единственным отображением У* в Л*, удовлетворяющим условию (1). Наконец,
sup {Il T1V II- ||#*||<lHsup{|<x, 7V>|: ||*||<1, Ці,* ||<1} = =sup{|<Tx,^>|: IUIK 1, ||0*||<lHim|<oo
(последнее равенство следует из теоремы 4.4), так что Т* ? €W, X*) и 11^11---11711. ¦
4.11. Обозначения. Ядро (нулевое подпространство) и образ (область значений) линейного отображения Т:Х—>Y будем обозначать через Jf(T) и 31 (T):
<№(Т) = {х?Х: Tx = O},
Zk (T) = {у?Y: Tx = у для некоторого х?Х\.
Следующая теорема касается аннуляторов; обозначения см. в п. 4.6.
4.12. Теорема. Пусть X и Y—банаховы пространства, и пусть T ^ 33 (X, Y). Тогда
(Г*) = 5? (Г)1 и off (T) ~ ^tA (T*).
Доказательство. Очевидно, что из записанных в следующих двух столбцах высказываний любые два соседних по вертикали эквивалентны:
у* € (Jf (T*); X <t*lf(T);
Т*у*=0; Tx = O;
гл. 4. двойственность в банаховых пространствах
113
<х, Т*у*> = О для всех х; <Тх, у*> = 0 для всех у*; <Тх, у*> — 0 для всех х\ <х, Т*у*> = 0 для всех у*; у* 6 к (7)1. х 6 j-5? (T*). ¦
Следствия, (а) Ядро off (T*) оператора Т* слабо* замкнуто « Y*.
(b) Образ Sh (T) оператора T тогда и только тогда всюду плотен в Y, когда оператор Т* инъективен1).
(c) Оператор T инъективен тогда и только тогда, когда образ SA (T*) оператора Т* слабо* всюду плотен в X*.
Напомним, что аннулятор ML любого подпространства McY слабо* замкнут в К*; в частности, это верно для S/l(T)-L. Поэтому из теоремы следует справедливость (а).
Что касается (Ь), то подпространство SA(T) всюду плотно в Y тогда и только тогда, когда SA(T)1- = \0\, или, что то же самое, когда <№(Т*)~{0\.
Аналогично равенство CJf(T) =={0} равносильно тому, что M(T*) не аннулируется ни одним элементом х ?Х, кроме х = 0; но это означает, что SR(T*) слабо* плотно в X*.
Заметим, что при доказательстве утверждений (Ь) и (с) мы молчаливо пользовались теоремой Хана — Банаха 3.5.
Утверждение (Ь) имеет очень полезный аналог, позволяющий по свойствам оператора Т* судить о том, отображает ли T пространство X на все пространство Y, т.е. верно ли, что M (T) = Y. Сначала мы найдем условия па Т* гарантирующие замкнутость образа оператора T (теорема 4. 14), а затем получим упомянутый результат (теорема 4. 15).
4. 13. Лемма. Пусть U и V—открытые единичные шары в банаховых пространствах X и Y соответственно. Пусть T ? Sd (X, Y) и с > 0.
(a) Если замыкание множества T (U) содержит cV, то и T(U)^cV.
(b) Если с (I у* (I II Т*у* Il для всякого у* ? У7*, mo T (U) z>cK.
Доказательство, (а) Не ограничивая общности, можно считать, что с=1. Тогда T(U)Z)V. Поэтому для любого у ? Y и любого е>0 найдется такой вектор х?Х, что ||*||^||#|| и H^—7-jcII < е.
