Функциональный анализ - Рудин У.
Скачать (прямая ссылка):
11. Пусть X — бесконечномерное пространство Фреше. Доказать, что пространство X*, снабженное слабой* топологией, является множеством первой ¦категории в себе.
12. Показать, что замкнутый (относительно нормы) единичный шар пространства c0 не является слабо компактным; напомним, что (с0)* = /1 (упр. 10).
13. Положим ///(0 = N-1 2 єіпі- Доказать, что./// -*0 слабо в L2 (—я, л).
По теореме 3.13 некоторая последовательность выпуклых комбинаций «функций /дг сходится к 0 по L2-nopMe. Найти такую последовательность. Показать, что последовательность gw= N~x (/i-|-...-f"^) таким свойством не обладает.
14. (а) Пусть Q — локально компактное хаусдорфово пространство, a C(Q) — пространство всех непрерывных комплексных функций на Q. Для ¦каждого компакта A'czQ определим в C(Q) полунорму рк, полагая
рк(/) = .sup {I f(x) |: х?К).
Снабдим С (Q) топологией, индуцированной этим семейством полунорм. Доказать, что для всякого функционала A^C(Q)* найдутся такой компактKdQ ¦и такая комплексная борелевская мера и. на /С, что
Af= J/ф {f€C (Q)).
К
(Ъ) Пусть Q — открытое подмножество в С, a H (Q) — пространство всех
•функций, голоморфных в Q. Построить такое счетное семейство Г мер с компактными носителями, содержащимися в Q, что пространство H (Q) состоит
іВ точности из тех функций f ?С (Q), для которых ^ f d\i = 0 для всех Ll ? Г.
102
часть 1. общая теория
15. Пусть X— такое топологическое векторное пространство, что X** разделяет его точки. Доказать, что слабая* топология в X* метризуемаэ тогда и только тогда, когда пространство X обладает конечным или счетным-базисом Гамеля (см. определение в упр. 1 гл. 2).
16. Доказать, что замкнутый единичный шар пространства L1 (относительно меры Лебега на единичном интервале) не имеет крайних точек, но что каждая точка «поверхности» единичного шара пространства L-P (1 <р< оо)-является крайней точкой этого шара.
17. Найти все крайние точки замкнутого единичного шара в пространстве-С всех непрерывных функций на единичном интервале с sup-нормой. (Ответ зависит от выбора поля скаляров.)
18. Пусть К—наименьшее выпуклое множество в R3, содержащее точкиа (1, 0, 1), (1,0,—1) и все точки (cos 6, sin 6, 0), где 0=<0^2я. Показать^ что множество К компактно, но множество всех его крайних точек не компактно. Существует ли такой пример в R2?
19. Пусть К — компактное выпуклое подмножество в R". Доказать, что» для любого XGК найдется такое г^п-\-\, что х представляется в виде-выпуклой комбинации г крайних точек множества К. Наводящее соображение. Действуйте по индукции. Проведите прямую через точку X и некоторую крайнюю точку множества К и рассмотрите концевые точки отрезка, по которому-эта прямая пересекается с К. Воспользуйтесь упражнением 1.
20. Допустим, что топологическое векторное пространство X содержи*-счетное подмножество E = Je1, е2, е3, ...}, обладающее следующими свойствами:.
(a) еп—*0 при п~»оо;
(b) каждый вектор х?Х является конечной линейной комбинацией элементов множества Е: х=^]уп (х) е„;
(c) для всякого п век гор еп не принадлежит замкнутому подпространству пространства X, порожденному остальными векторами е/.
Например, X может быть пространством всех комплексных полиномов
f (Z) = UQ-^a1Z +
с нормой
і я
Ш = < J I / И) I2 dd
~л
Ben(Z)=^n-1Z»-1 (п= 1, 2^3, ...).
Доказать, что каждый коэффициент уп, участвующий в условии (Ь), является непрерывным линейным функционалом на X. Пусть К = E[J[O};.. тогда К компактно. Доказать, что выпуклая оболочка H множества К замкнута, но не компактна и что множество всех крайних точек H совпадает с. множеством всех крайних точек К-
21. Если 0<р< 1, то каждая функция f?LP (кроме / = 0) является' средним арифметическим двух функций, менее удаленных от 0, чем / (см. п. 1.47). Используя это, построить пример счетного компактного множества= KcLP (с единственной предельной точкой 0), не имеющего крайних точек.
22. Показать, что если 0 < р <1, то в пространстве Ip существует такос-компактное множество К, выпуклая оболочка которого не ограничена. Это> возможно, несмотря на тот факт, что (Ip)* разделяет точки в IP; см. унр. 5~ Наводящее соображение: определите элементы xnQp » полагая
хп(п) = пР-г, хп (т) = 0 при т ф. п\
пусть К состоит из элементов О, X1, Jt2, х3, ¦••> покажите, что последователь-
гл. 3. выпуклость
103
шость Ум= /V-1 (Xi 4-не ограничена в IP'.
23. Пусть її — борелевская вероятностная мера на компактном хаусдорфовом пространстве Q, X—пространство Фреше, a /: Q ->Х—непрерывное отображение. Разбиением пространства Q называется любое конечное семейство непустых попарно не пересекающихся борелевских подмножеств в Q, объединение которых равно q. Доказать, что для каждой окрестности нуля VbX ^найдется такое разбиение {?,-} пространства Q, что разность
г= $/ф-2> (?/)/(*/) Q
три любом выборе точек ?,??/ принадлежит окрестности V. (Это дает представление интеграла в виде сильного предела «римановых сумм».) Наводящее •соображение. Считайте окрестность V выпуклой и уравновешенной. Пусть разбиение ¦{?/[ выбрано так, что f (s)— f(t)?V, если точки s и t принадлежат одному и тому же множеству E1-, Тогда, если Л ?Х* и |Лх)<;1 для всех x?V, то |Лг I < 1.
