Функциональный анализ - Рудин У.
Скачать (прямая ссылка):
п п
(4) Z C1U1 < 0Ji
і-1 I= 1
при всех и = (U1, ..., Un) G К. Поэтому
п п
(5) Z сЛ/(<7) < (q GQ).
і-1 і= і
Так как \х—вероятностная мера, то, интегрируя обе части неравенства (5), получаем, что 2С/Ш/<2С/*/- Таким образом, 1Фт.
л) Комплексный случай легко сподится к Естественному с помощью соображений, изложенных в конце п. 3.1.— Прим. перев.
92
часть i. общая теория
Это показывает, что точка т действительно принадлежит выпуклой оболочке множества К. Так как К — L (f (Q)), а отображение L линейно, отсюда следует, что m = Ly для некоторого вектора у из выпуклой оболочки H множества / (Q). Для такого вектора у имеем
(6) А{у = IU1 = J (Aif) d\i (1 < і < п).
q
Поэтому у Є EL. H
3.28. Теорема. Пусть X—такое топологическое векторное пространство, что X* разделяет точки в X, a Q—такое компактное подмножество пространства X, что его замкнутая выпуклая оболочка H компактна. Тогда вектор у принадлежит H в том и только в том случае, когда на Q существует такая регулярная борелевская вероятностная мера \i, что
(1) y = ^xd[i(x).
q
Замечания. Интеграл в (1) понимается в смысле определения 3.26 с f(x)=x.
Напомним, что положительная борелевская мера и. на локально компактном пространстве Q называется регулярной, если для любого борелевского множества EcQ
(2) [і (E)= sup {[і (К): KczE\ = mi{[.i(G): GzdE},
где К пробегает все компактные подмножества множества Е, a G— все открытые подмножества пространства Q, содержащие множество Е.
Интеграл (1) представляет каждый вектор ув виде «взвешенного среднего» векторов из Q или «центра массы» некоторого распределения единичной массы на Q.
Подчеркнем еще раз, что если X — пространство Фреше, то
компактность H является следствием компактности Q.
Доказательство. Мы снова будем считать пространство X вещественным. Пусть C(Q) — банахово пространство всех вещественных непрерывных функций па Q с sup-нормой. Теорема Рисса о представлении линейных функционалов позволяет отождествить сопряженное к C(Q) пространство C(Q)* с пространством всех вещественных борелевских мер на Q, представимых в виде разности двух положительных регулярных борелевских мер на Q. Имея в виду это отождествление, определим отображение
<3) Ф: С (Q)*—^X,
гл. 3. выпуклость
93
полагая
<4) ц> (їх) = ^ Xd[I(X).
Q
Пусть P — множество всех регулярных борелевских вероятностных мер на Q. Теорема утверждает, что ф (P) = H.
Для каждого x?Q единичная мера бх на Q, сосредоточенная^ в точке х, принадлежит Р. Поскольку ц>(&х) = х, мы видим, что Qc=Cp (P). Так как отображение ф линейно, а множество P выпукло, отсюда следует, что выпуклая оболочка // множества Q тоже содержится в ф(Р). С другой стороны, ц(Р)сН, согласно теореме 3.27. Поэтому остается лишь доказать, что множество <р(Р) замкнуто в X; мы сделаем это, доказав следующие два утверждения:
(!)• множество P слабо* компактно в C(Q)*;
(ii) отображение ф: C(Q)*—, определенное формулой (4), непрерывно относительно слабой* топологии в C(Q)* и слабой топологии в X.
Если эти утверждения справедливы, то множество Ц>(Р) слабо компактно в X и потому слабо замкнуто; так как всякое слабо замкнутое множество в X подлинно замкнуто, то мы получаем требуемое заключение.
Чтобы доказать утверждение (і), заметим, что
(5) Pd^: <1, если ||А||<1|,
причем по теореме Банаха — Алаоглу большее из этих двух множеств слабо* компактно в C(Q)*. Поэтому достаточно показать, что множество P слабо* замкнуто.
Для всякой неотрицательной функции h GC (Q) положим
(6) E11 = |ц: J Ыи>0| .
Так как р—>Jj «dp. есть линейный функционал на C(Q)*, порождаемый элементом «GC(Q), то из определения слабой* топологии следует, что каждое, из множеств En слабо* замкнуто. Таким же является множество
(7) E=U: J ldfi^li .
Так как множество P совпадает1) с пересечением E и всех множеств En, то P слабо* замкнуто.
1J Включение PcEf] / р) ЕЛ тривиально; для доказательства обратного
VA>0 J
включения следует воспользоваться тем, что рассматриваются лишь регулярные (т. е. представимые в виде разности двух регулярных положительных борелевских мер) вещественные борелевскис меры.— Прим. перев.
94
часть 1. общая теория
Поскольку отображение ф линейно, для доказательства утверждения (ii) достаточно показать, что ср непрерывно в нуле. Каждая слабая окрестность нуля в X содержит множество вида
(8) W = {y?X: \А;У\<п при
где Л, ? X* и г і > 0. Ограничение функционала Л/ на множество' Q принадлежит C(Q). Поэтому множество
(9)
V= (Q)*: $Л,-4і
<А/ ПрИ 1<Л^
является слабой* окрестностью нуля в C(Q)*. Но по определению интеграла 3.26
(10) J At = A1 f J X Cf1U (х) \ =Л,-ф (ц).
Из (8), (9) и (10) следует, что q>(V)cW. Поэтому отображение Ф непрерывно. Ц
Следующее простое неравенство представляет собой один из-возможных вариантов последнего утверждения теоремы 3.27.
3.29. Теорема. Пусть Q—компактное хаусдорфово пространство, X—банахово пространство, /: Q—> X—непрерывное отображение и Li—положительная борелевская мера на Q. Тогда
$/Ф <$||/|№.
Доказательство. Пусть у = ^ f d\x. Согласно следствию
