Функциональный анализ - Рудин У.
Скачать (прямая ссылка):
(6) 12-1A[M^)]Kr-1JW (А).
Поэтому множество всех отношений
(7) ^ = I1T-= 0<|г|<г}
слабо ограничено в X. По теореме 3.18 это множество также сильно ограничено. Таким образом, для всякой (сильной) уравновешенной окрестности нуля VbX найдется такое положительное число t = t(r, V) < оо, что ErcztV. Выберем такое число-е = е (/-, V) > 0, что є < г и Et < 1. Так как ER cz En а окрестность V уравновешена, то при |гКе
(8) f(z) G ztVcz ztVcz V,
так что f(Afi)czV. Следовательно, функция / сильно Непрерывна в нуле, а потому и в любой точке множества Q.
В этом суть дела, все остальное получается почти автоматически г).
(b) В силу утверждения (а) и теоремы 3.27 интегралы, входящие в формулы (1) — (3), существуют. Согласно теории обычных голоморфных функций, эти формулы верны, если в них заменить / на Af, где А—любой функционал из X*. Следовательно, по определению 3.26 они верны и для рассматриваемой векторной функции /.
(c) Снова предположим, что OG^ и /(O) = O, и докажем сильную голоморфность функции / в точке 0. Пусть г, A27. и Г означают то же, что в доказательстве утверждения (а). Положим
(9) У -53 Jt-Z(O«.
г
Применяя формулу Коши (2) к функции /, после несложных вычислений получаем, что при 0<|г|<2г
(Ю) Uf = ^+Zg(Z),
х) Заметим, что при доказательстве утверждения (а) (в отличие от (Ь) и (с)) используется лишь локальная выпуклость X (позволяющая применить теорему 3.18), а метризуемость и полнота роли не играют.— Прим. перев.
98
часть i. общая теория
где
л
(11) g (г) = JL j [2г?*в (2/т'°-г)]"1 / (2/?*) сЮ.
-л
Пусть V—выпуклая уравновешенная окрестность нуля в X. Положим K = {J(Q'- |?| = 2г}. Тогда К—компакт в X, так что KcztV для некоторого / < оо. Отсюда следует, что подынтегральное выражение интеграла (11) при всех значениях O принадлежит sV, если s = tr~i и |г|^г. Следовательно, g(z)(zsV при |г|^г. Поэтому левая часть формулы (10) при z—»0 сильно сходится к вектору у.Щ
Следующее обобщение теоремы Лиувилля об ограниченных целых функциях доказывается без использования теоремы 3.31. Оно может быть применено при изучении спектров элементов банаховых алгебр. (См. упр. 4 гл. 10.)
3.32. Теорема. Пусть X—такое комплексное топологическое секторное пространство, что X* разделяет его точки. Предположим, что функция f: С—>Х слабо голоморфна и что /(С) является слабо ограниченным подмножеством пространства X. Тогда функция f постоянна.
Доказательство. Для каждого функционала Л G X* комплексная функция Af является целой и ограниченной. Поэтому из теоремы Лиувилля следует, что для всех z GC
Af (z)=Af (0).
Поскольку X* разделяет точки в X, получаем отсюда, что f(z)=f(0) для всех г G С. H
В части ((1) упр. 5 описан пример слабо ограниченного, но не сильно ограниченного множества в некотором F-иространстве X, для которого X* разделяет точки; ср. с теоремой 3.18.
Упражнения
1. Назовем множество HcRn гиперплоскостью, если существуют такие вещественные числа alt ...,опис, что а,- ф 0 хотя бы для одного і и что //
СОСТОИТ ИЗ ВСЄХ ТОЧеК X=(X1, Xn), удовлетворяющих УСЛОВИЮ У] a JXj = C
Предположим, что E — выпуклое множество с непустой внутренностью в R" и что у—граничная точка Е. Доказать, что существует такая гиперплоскость //, что уи что E целиком лежит по одну сторону от Н. (Сформулировать последнее условие более точно.) Наводящее соображение: предположите, что 0—внутренняя точка множества Е, рассмотрите одномерное подпространство М, содержащее точку у, и примените теорему 3.2.
2. Пусть L2 = L2([—1, IJ) (относительно меры Лебега). Для всякого скаляра а обозначим через Еа множество всех непрерывных функций / на отрезке [—1, 1], для которых /(0)=а. Показать, что каждое множество ?«
гл. 3. выпуклость
99
выпукло и всюду плотно в ZA Таким образом, если а Ф ?, то Ea и E?— непересекающиеся выпуклые множества, которые не могут быть разделены никаким непрерывным линейным функционалом Л на L2. Указание: что такое Л (?«)?
3. Пусть X—вещественное Ескторное пространство (без топологии). Назовем точку X0^AcX окруженной точкой выпуклого множества А, если множество А — х0 является поглощающим.
(a) Пусть А и В—непересекающиеся выпуклые множества в X, и пусть А обладает окруженной точкой. Доказать, что существует такой ненулевой" линейный функционал Л на X, что А(А)(]А(В) содержит не более одной точки. (Доказательство похоже на доказательство теоремы 3.4.)
(b) Показать (скажем, на примере X = R2), что при выполнении условий пункта (а) может не существовать функционала Л, для которого множества. Л (А) и Л (В) не пересекаются.
4. Пусть /°° — пространство всех ограниченных вещественных функций лг па множестве всех положительных целых чисел. Определим на 1°° оператор-сдвига т, полагая
(тх) (п) = х(п+\) (л=1, 2, 3, ...).
Доказать, что на /°° существует такой линейный функционал Л (называемый; банаховым пределом), что
(a) Атх = Ах и
(b) lim inf X (п) ^ Ax ^ lim sup х (п)
П -*¦ OO п -> СО
для всех х?/°°. Наводящее соображение. Положите
л___х(\)+ ...+х(п)
Ля*— п
M = ix?l°°: Hm Л„х = Лх существует}, р (x) = lim sup AnX
