Функциональный анализ - Рудин У.
Скачать (прямая ссылка):
X G Н. Ясно, что H не пересекается с множеством Ka, определенным при помощи конструкции, описанной в утверждении (Ь). Но, согласно (b), К л € 5\ и мы получаем противоречие. Ц
Замечание. Выпуклость множества К использовалась лишь при доказательстве компактности Н. Если пространство X предполагается локально выпуклым, то компактность H не нужна, поскольку в этом случае вместо теоремы 3.19 можно воспользоваться утверждением (Ь) теоремы 3.4. Приведенное выше рассуждение показывает, что в рассматриваемой ситуации KcH. Таким образом, мы получаем следующий вариант теоремы Крейна —Мильмана.
3.22. Теорема. Если X—локально выпуклое пространство, a E — множество всех крайних точек компакта KcX, то К содержится в замкнутой выпуклой оболочке множества Е.
Эквивалентная формулировка: замкнутые выпуклые оболочки множеств К и E совпадают.
Предыдущее замечание приводит к следующему вопросу: что можно сказать о выпуклой оболочке И компактного множества KcX? Даже в гильбертовом пространстве X множество H может не быть замкнутым. Возможны ситуации, в которых H не компактно (см. упр. 20 и 22), однако в пространствах Фреше такая патология не встречается (георема 3.25). Доказательство последнего утверждения основано на том, что подмножество полного метрического пространства компактно тогда и только тогда, когда оно замкнуто и вполне ограничено (см. приложение A4).
Напомним, что подмножество E метрического пространства X называется вполне ограниченным, если для любого к > 0 оно содержится в объединении конечного числа открытых шаров радиуса а. В ситуации, когда X — любое топологическое векторное пространство (не обязательно метризусмое), также можно ввести весьма близкое понятие вполне ограниченного подмножества.
гл. 3. выпуклость
87
3.23. Определение. Подмножество E топологического векторного пространства X называется вполне ограниченным, если для любой окрестности нуля V в X найдется такое конечное множество FcX, что EcF-\-V.
Если d—инвариантная метрика в метризуемом топологическом векторном пространстве X, совместимая с его топологией т, то класс всех d-вполне ограниченных множеств совпадает с классом всех т-вполне ограниченных множеств. [Это доказывается с помощью соображений, аналогичных изложенным в п. 1.25.]
3.24. Теорема. Пусть X — локально выпуклое пространство, a H—выпуклая оболочка вполне ограниченного множества EcX. Тогда множество H вполне ограничено.
Доказательство. Пусть U—окрестность нуля в X. Тогда в X найдутся такая выпуклая окрестность нуля V, что V-\-VсU, и такое конечное множество E1, что EcE1 ~\-V. Пусть H1 — выпуклая оболочка множества E1.
Пусть C11 .... ет — все точки множества E1, и пусть 5—симплекс в Rm, состоящий из всех таких ^ = (^, tm), для которых ti^O и ^1- —1; тогда
представляет собой непрерывное отображение компактного множества 5 на H1. Поэтому множество H1 компактно.
Если X ? Н, то X = Ct1X1 -f- .. . -f- CinXn, гдеX1^E, a^ 0 и ^jK1- = 1. Так как EcE1-J-V, то для каждого X1 найдется такая точка у ^ E1, что X1—у і GiV. Представим х в виде суммы
х = х' + х",
где *, = 2аі#і и х" — 2а і (хі—У і)- выпуклости V следует, что x"?V. Ясно, что x'?HL. Поэтому
HcH1-^V.
Так как H1 компактно, то найдется такое конечное множество FcX, что H1CF-^V. Таким образом,
HcF + V+VcF + U.
Поскольку* окрестность U произвольна, отсюда следует, что множество H вполне ограничено. Щ
3.25. Теорема. Пусть H—выпуклая оболочка компактного подмножества К топологического векторного пространства X.
(a) Если X—пространство Фреше, то множество H компактно.
(b) Если X = то множество H компактно.
¦88
часть 1. общая теория
Доказательство, (а) По теореме 3.24 множество H вполне ограничено. Так как пространство Фреше является полным метрическим пространством, то замыкание H множества H компактно х).
(Ь) Пусть 5 — симплекс в Rn+1, состоящий из всех точек Z=(Z11 tn+1), для которых Z1-^O и 2fi=l. Из доказанной ниже леммы следует, что X 6 H тогда и только тогда, когда
«+і
X = 2 tiXi і-I
для некоторого и некоторых x1^K (1 =0"1). Иными
словами, H совпадает с образом множества
SxKx. ..хК
(К входит в это произведение п +1 раз) при непрерывном отображении
п+ I
(t, Xx, . . . , Xn + 1) > 2 tixi'
1 = 1
Поэтому H компактно. \\\\\\
Лемма. Если х принадлежит выпуклой оболочке множества f cR", то X принадлежит выпуклой оболочке некоторого подмножества множества Е, состоящего не более чем из /г +1 точек.
Доказательство. Достаточно показать, что если г > п и де = 2*1*1 — выпуклая комбинация r + l векторов х^Е, то в действительности вектор X может быть представлен в виде выпуклой комбинации г из этих векторов.
Не ограничивая общности, можно считать, что t-t > 0 при 1<л^г+1. Так как г > п, то г векторов jc,-—xr+1 (1 <л ^r) линейно зависимы. Отсюда следует, что существуют такие вещественные числа о/, не все равные 0, что
Г+1 Г-S-I
2 fl/jc,-=о и 2 ai=о-
і= i 1=1
Выберем такой номер т, что |CL-Jt1 | |ajim| при 1<л<>+1,
1J Здесь (кроме упоминавшейся выше теоремы A4) мы неявно воспользовались еще тем, что замыкание вполне ограниченного подмножества метрического (или топологического векторного) пространства вполне ограничено. Для метрических пространств это следует из того, что любой замкнутый шар содержится в открытом шаре вдвое большего радиуса с центром в той же точке. Для топологических векторных пространств можно воспользоваться теоремой 1.11 и утверждением (е) упр. 3 гл. 1.— Прим. перев.
