Функциональный анализ - Рудин У.
Скачать (прямая ссылка):
(а) Фиксируем A0 € Л и Ь0?В. Пусть X0 -Ь0—ап; положим C = А — В-\-х0. Тогда С—выпуклая окрестность нуля в X; пусть р—ее функционал Минковского. По теореме 1.35, р удовлетворяет условиям (Ь) теоремы 3.2. Так как Л Л B= 0, то X0(^C и потому р (X0)^ 1.
Положим / (tx0) — t на подпространстве M пространства X, порожденном вектором х0. Если t ^ 0, Tof(tx0)=t ^ tp (х0)=р (tx0); если же t < 0, то f (tx0) < 0^.p(txo). Таким образом, f ^p на М. По теореме 3.2, / продолжается до линейного функционала А на X, удовлетворяющего условию A^р. В частности, A^l на С, и потому A^—1 на —С, так что |А|<!1 в окрестности нуля С П (— С). По теореме 1.18, функционал А непрерывен на X.
Если теперь а? Л и Ь?В, то
Aa-ЛЬ-\-1 -A(a—b + x0)^.p(a—b + x0) < 1,
поскольку Ааг0 — 1, а—Ь + л;0?С, а С открыто. Таким образом, Aa < ЛЬ.
Отсюда следует, что Л (Л) и Л (?) — непересекающиеся выпуклые подмножества в R, причем A(A) целиком лежит слева от A(B). Кроме того, A(A) открыто, поскольку А открыто, а всякий ненулевой линейный функционал па X является открытым отображением. Следовательно, Л (А) — ограниченный справа отк-
72
часть 1. общая теория
рытый интервал. Чтобы закончить доказательство утверждения (а), достаточно в качестве у взять правый конец интервала A(A)..
(Ъ) По теореме 1.10, в X существует такая выпуклая окрестность нуля V, что (A -f-K) Г) В = 0. Применяя утверждение (а) к множествам Л+1/ и В, получаем, что существует такой функционал Л^Х*, что Л (A +V) и A(B) являются непересекающимися выпуклыми подмножествами вещественной оси, причем A(A-J-V) открыто и целиком лежит слева от A(B). Отсюда, следует справедливость утверждения (Ь), поскольку Л (А)—компактное подмножество множества A(A-{-V). Щ
Следствие. Если X—локально выпуклое пространство, то X* разделяет точки в X.
Доказательство. Если x1G X, X2 G X и х, Ф х2, то применим утверждение (Ь) теоремы 3.4 к множествам А = {x1) и B = {х2}. ¦
3.5. Теорема. Пусть M—подпространство локально выпуклого пространства X и x0 G X. Если x0 не принадлежит замыканию Му то существует такой функционал A G X*, что Ax0 = 1, но Ax = О для всех х?М.
Доказательство. Применяя утверждение (Ь) теоремы 3.4 к множествам А = {х0} и В = М, найдем такой функционал Л G X*, что Ax0^ А (M). Следовательно, Л (M) является собственным подпространством поля скаляров, так что Л (Af) = {0} и Ахоф0. Деля Л на Ax0, получаем искомый функционал. Щ
Замечание. На этой теореме основан стандартный подход к некоторым задачам аппроксимации: чтобы доказать, что точка X0GX принадлежит замыканию некоторого подпространства Му достаточно (если X локально выпукло) показать, что Ax0 = O для всякого непрерывного линейного функционала Л на X, равного 0 на М.
3.6. Теорема. Если f — непрерывный линейный функционал на подпространстве M локально выпуклого пространства X, то-существует такой функционал AGX*, что A= f на М.
Замечание. Для нормированных пространств это непосредственное следствие теоремы 3.3. В общем случае этот результат также можно получить с помощью теоремы 3.3, если воспользоваться тем, что непрерывность линейного функционала на локально-выпуклом пространстве равносильна тому, что он мажорируется, некоторой непрерывной полунормой (см. теоремы 1.36 и 1.37, замечание 1.38 (В) и упр. 8 гл. 1). Приведенное ниже доказательство показывает, что теорема 3.6 зависит лишь от свойства отделимости, установленного в теореме 3.5.
гл. 3. выпуклость
73
Доказательство. Не теряя общности, можем считать, что f не есть тождественный 0 на М. Положим
М0 = {х?М: /(X) = O}
и выберем такую точку х0?М, что f(xQ) = \. Так как функционал f непрерывен, то X0 не принадлежит М-замыканию подпространства M0; поскольку топология в M индуцирована топологией пространства X, а X0GM, отсюда следует, что X0 не принадлежит также Х-замыканию подпространства M0.
Итак, теорема 3.5 гарантирует существование такого функционала Л^Х*, что Ax0 = I и A = O на M0.
Если XGM, то X—f{x)x0 G M0, ибо Дх0) = 1. Поэтому
Ax—f (х)=Ах—f (х) Ax0 = А (х—/ (х) X0) = 0.
Таким образом, A = f на М. Щ
Приведем в заключение еще одно полезное следствие теоремы о разделении выпуклых множеств.
3.7. Теорема. Пусть В—выпуклое уравновешенное замкнутое множество в локально выпуклом пространстве X, и пусть X0 G X, но X0 (? В. Тогда существует такой функционал A G X*, что \ Ax I ^ 1 для всех X G В, но Ax0 > 1.
Доказательство. Применим утверждение (Ь) теоремы 3.4 к множествам Л = {х0} w В \\ заметим, что если А'—функционал, существование которого установлено в упомянутой теореме, то множество А' (В) выпукло и уравновешено. Поэтому искомый •функционал AGX* можно получить, умножая А' на подходящий -скаляр. I
Слабые топологии
3.8. Предварительные сведения из топологии. В этом пункте мы хотим объяснить и проиллюстрировать некоторые явления, возникающие в ситуации, когда одно и то же множество снабжено несколькими топологиями.
Пусть T1 и t2—две топологии в множестве X; предположим, что T1Ct2, т. е. всякое T1-OTKрытое множество является также т2-открыгым. В этом случае мы говорим, что топология T1 слабее топологии т2 или что T2 сильнее t1. [Отметим, что (в соответствии со смыслом знака включения cz) выражения «слабее» и «сильнее» не исключают равенства.] В описанной ситуации тождественное отображение X непрерывно, если его рассматривать как отображение (X, т2) в (X, тг), и открыто, если его рассматривать как отображение (X, t1) в (X, т2).
