Функциональный анализ - Рудин У.
Скачать (прямая ссылка):
Сформулируем предположения относительно X' более явно: X' замкнуто относительно сложения и умножения на скаляры,, и если X1 и X2—различные точки пространства X, то Aat1=^Aat4 для некоторого A^X'.
Доказательство. Поскольку пространства RhC хаусдор-фовы, предложение (Ь) п. 3.8 показывает, что топология т/ хаусдорфова. Из линейности входящих в X' функционалов следует, что топология т/ инвариантна относительно сдвигов. Пусть A1, ..., Ли Є X' и г і > 0 (1 ^ і ^ п)\ тогда множество
(1) V = {x: JЛ/АгI < г,- при 1</<я}
выпукло и уравновешено, причем V^t'. В действительности совокупность всех множеств К вида (1) является локальной базой топологии т'. Таким образом, т' — локально выпуклая топология в X.
Если V определено формулой (1), то 1z2V-^-1z2V = V, откуда следует непрерывность сложения. Пусть X ? X, и пусть а—скаляр. Тогда x^sV для некоторого s > 0. Если |?—ccj<r и у—x?rVf. то вектор
$у—ах = ф—а) у+а (у—х) принадлежит V, когда г столь мало, что
r(s + r) + \a\r < 1. Поэтому умножение на скаляры непрерывно.
гл. 3. выпуклость
77
Итак, мы доказали, что т'—локально выпуклая векторная топология. Каждый функционал А Є X' непрерывен относительно т\ Обратно, если некоторый линейный функционал Л на X непрерывен относительно топологии т/, то |Лх|<1 для всех X из некоторого множества V вида (1). Поэтому для функционалов Л и A1, ...,An справедливо утверждение (Ь) леммы 3.9; следовательно, для них выполняется также утверждение (а), т. е. A = JJa1-A,-. Так как A1-^X', а X' — векторное пространство, то ЛЄХ'.|1
Примечание. Первую часть изложенного доказательства можно было провести на основе теоремы 1.37, используя в качестве разделяющего семейства полунорм множество всех полунорм вида рА (х) = | Ax | (A^X').
3.11. Слабая топология в топологическом векторном пространстве. Пусть X—такое топологическое векторное пространство (с топологией т), что его сопряженное пространство X* разделяет точки в X. [Мы знаем, что так обстоит дело для каждого локально выпуклого пространства X. Этим свойством обладают также некоторые другие пространства; см. упр. 5.] Х*-топология в пространстве X называется слабой топологией в X и обозначается tw.
Символом Xw мы будем обозначать пространство X, снабженное этой слабой топологией xw. Из теоремы 3.10 следует, что Xw является локально выпуклым пространством и что его сопряженное пространство совпадает с X*.
Так как tw—слабейшая из топологий в X, относительно которых все функционалы А ?Х* непрерывны, а топология т обладает последним свойством, то xwczT. В рассматриваемой ситуации топологию т мы часто будем -называть подлинной, или исходнойх), топологией в X.
Такие не нуждающиеся в объяснении выражения, как «подлинная окрестность», «слабая окрестность», «подлинное замыкание», «слабое замыкание», «подлинная ограниченность», «слабая ограниченность» и т. д., будут употребляться для того, чтобы ясно было, какая при этом подразумевается топология2).
*) В оригинале original topology,— Прим. перев.
2) Если X— пространство Фреше (в частности, если пространство X банахово), исходную (подлинную) топологию в X обычно называют сильной топологией. В этом случае вместо слов «подлинный» и «подлинно» будут употребляться соответственно термины «сильный» и «сильно». Для общих локально выпуклых пространств термину «сильная топология» придается особый технический смысл (см. [18, стр. 256—268], а также [17, стр. 104J). Поэтому при изложении общих вопросов, по-видимому, разумно пользоваться; введенной здесь терминологией.
78
часть 1. общая теория
Пусть, например, {хп\— последовательность в X. Высказывание «хп—в исходной топологии» означает, чго каждая подлинная окрестность нуля содержит все Xn с достаточно большими номерами п. Высказывание же «х,г—>O слабо» означает, что всякая слабая окрестность нуля содержит все Xn с достаточно большими номерами п. Так как каждая слабая окрестность нуля содержит окрестность вида
<1) V = {х: IA1-XI < г,- при 1 < t < и},
где A1- G X* и г і > 0, то легко видеть, что Xn —> 0 слабо тогда и только тогда, когда Axn—>0 для любого A G X*.
Поэтому всякая подлинно сходящаяся последовательность сходится также и слабо. [Обратное обычно не верно; см. упр. 5 и 6.]
Аналогично множество E cz X слабо ограничено (т.е. является ограниченным множеством в X^) тогда и только тогда, когда всякая окрестность V вида (1) содержит IE для некоторого / == / (V) > 0. Это возможно в том и только в том случае, когда для любого AGX* существует такое число у(Л)<оо, что \Ах\ <Су(А) при всех х?Е. Иными словами, множество EcX слабо ограничено тогда и только тогда, когда каждый функционал A G X* является ограниченной функцией на Е.
Пусть V—снова множество вида (1); положим
N = {х: A1X = ... = А,гх = 0}.
Поскольку отображение х—>(A1X, Аах) пространства X в С" имеет своим ядром подпространство N, мы видим, что dim X ^п + dim N. Так как NcV, то это приводит к следующему выводу:
Если пространство X бесконечномерно, то всякая слабая окрестность нуля в нем содержит бесконечномерное подпространство; поэтому для бесконечномерного X пространство Xw не может быть локально ограниченным.
