Функциональный анализ - Рудин У.
Скачать (прямая ссылка):
Во многих случаях отсюда следует, что слабая топология строго слабее исходной. Разумеется, эти две топологии могут совпадать: например, из теоремы 3.10 следует, что (XU)W = XW.
Теперь мы подходим к более интересному результату.
3.12. Теорема. Пусть E—выпуклое подмножество локально выпуклого пространства X. Тогда слабое замыкание Ew множества E совпадает с его подлинным замыканием Е.
Доказательство. Поскольку множество Ew слабо замкнуто, оно подлинно замкнуто, так что EcEw. Чтобы получить противоположное включение, выберем такую точку X0GX, что
х^Е. Как показывает утверждение (Ь) теоремы 3.4, существуют
гл. 3. выпуклость
79
такой функционал Л ? X* и такое Y(ER, что для всех х?Е
ReAx0 < Y < ReAx.
Поэтому множество {х: ReAx<Y| является слабой окрестностью точки х0> не пересекающейся с Е. Таким образом, X0 не принадлежит Ew. Это доказывает включение EwczE. Щ
Следствие. Пусть X — локально выпуклое пространство.
(a) Подпространство в X подлинно замкнуто тогда и только тогда, когда оно слабо замкнуто.
(b) Выпуклое подмножество пространства X подлинно всюду плотно тогда и только тогда, когда оно слабо всюду плотно.
Доказательства очевидны. Вот другое заслуживающее внимания следствие теоремы 3.12:
3.13. Теорема. Пусть X—метризуемое локально выпуклое пространство. Если \хп} —последовательность в X, слабо сходящаяся к некоторому х?Х, то в X найдется такая последовательность {у(\, что
(a) каждый вектор y-t является выпуклой комбинацией конечного числа векторов Xn;
(b) у,-—*-х в исходной топологии.
Сформулируем свойство (а) последовательности {у{\ в более явном виде: существуют такие неотрицательные числа а?п, что
СО OO
2 «/„ = 1» У і = S ainXn
и для каждого і все аіп, за исключением конечного числа, равны 0.
Доказательство. Пусть H—выпуклая оболочка множества всех членов последовательности {хп\, и пусть К—слабое замыкание И. Тогда х?К- По теореме 3.12, вектор х принадлежит также подлинному замыканию множества И. Поскольку исходная топология в X предполагается метризуемой, отсюда вытекает, что в H существует последовательность сходящаяся KXB исходной топологии. Щ
Чтобы получить более ощутимое представление о содержании этой теоремы, полезно рассмотреть следующий пример.
Пусть К — компактное хаусдорфово пространство (замкнутый единичный интервал вещественной оси — уже достаточно интересный случай). Пусть / и fn (я —1,2, 3, ...)—такие непрерывные комплексные функции на /С, что fn(x)—>f{x) при п—>оо для всякого X Є К, причем (/»(х)|^1 для всех п и всех х?/<". Из теоремы 3.13 следует, что существует последовательность выпуклых комбинаций функций fn, равномерно сходящаяся к /.
€0
часть I. общая теория
Чтобы убедиться в этом, рассмотрим банахово пространство C(K) всех комплексных непрерывных функций на К с максимумом модуля функции в качестве нормы. Сильная сходимость в C(K) совпадает с равномерной сходимостью на К- Если ц.— произвольная комплексная борелевская мера на К, то из теоремы Лебега об ограниченной сходимости следует, что ^ fnd\i—*^fd\i.
По теореме Рисса, сопряженное к C(ZC) пространство может быть отождествлено с пространством всех регулярных комплексных борелевских мер на К\ поэтому f„—>f слабо в C(K). Это позволяет применить теорему 3.13.
После этого краткого отступления мы возвращаемся теперь к основной линии изложения.
3.14. Слабая* топология в сопряженном пространстве. Пусть X—топологическое векторное пространство, а X* — сопряженное к нему пространство. Следующие ниже определения имеют смысл независимо от того, разделяет X* точки в X или нет. Заметим ¦(это весьма важно для дальнейшего), что каждый вектор х?Х индуцирует линейный функционал fx на X*, определяемый формулой
fxA = Ax,
причем семейство {fx: х ? X} разделяет точки в X*.
Линейность каждого из функционалов fx очевидна; если fxA = fxA' для всех X ?Х, то Лх = Л'х для всех х ?Х, так что A = A' по самому определению равенства между функциями.
Таким образом, возникает ситуация, описанная в теореме 3.10, с заменой X на X* и X' на X.
Х-топология в X* называется слабой* топологией в пространстве X*.
Из теоремы 3.10 следует, что она является локально выпуклой векторной топологией в X* и что каждый слабо* непрерывный линейный функционал на X* имеет вид А—>Лх для некоторого х?Х.
Слабая* топология обладает весьма важным свойством, связанным с компактностью, к которому мы сейчас перейдем. Некоторые патологические свойства слабой и слабой* топологий описаны в упр. 9 и 10.
Компактные выпуклые множества
3.15. Теорема Банаха — Алаоглу. Если V—окрестность нуля в топологическом векторном пространстве X, то множество
K=[A^X*: IAxК I для всех x?V)
ялабо* компактно.
гл. 3. выпуклость
81
Примечание. Иногда К называют полярой множества V. Множество К выпукло и уравновешено, потому что этими свойствами обладает единичный круг в С (и интервал [—1, IJ в R). В определении множества К имеется некоторая избыточность, поскольку каждый линейный функционал на X, ограниченный на V, непрерывен и потому принадлежит X*.
Доказательство. Так как окрестности пуля являются поглощающими множествами, то для всякого х € X найдется такое число у(х) < оо, что x?y(x)V. Поэтому
