Функциональный анализ - Рудин У.
Скачать (прямая ссылка):
<3) |Ax|<v(A).
Поскольку К выпукло и слабо* компактно (теорема 3.15), а функции Л—"Лл; слабо* непрерывны, условие (3) позволяет применить теорему 2.9 (с X* вместо X и нолем скаляров вместо Y) к семейству линейных функционалов ГЕ= [fx: fx (A) = — Ах, AGX*, X ?Е\. В результате получаем, что существует постоянная v<°°> дли которой (4) |Лх|<у і*GEt AGK).
84
часть 1. общая теория
Из (2) и (4) следует, что у~гх^VcU для всех х?Е. Так как окрестность V уравновешена, то
(5) E ciV7CtU (t>y). Таким образом, E подлинно ограничено. Ц
Следствие. Если X—нормированное пространство, EcX и для всех AGX*
(6) sup I Ax I < оо,
КС E
то существует такое у < оо, что для всех х?Е
(7) IMK у-
Доказательство. Нормированное пространство локально выпукло; условие (6) означает, что множество E слабо ограничено, а (7) означает, что оно подлинно ограничено. Щ
При доказательстве теоремы Крейпа— Мильмана будет полезен следующий аналог утверждения (Ь) теоремы 3.4.
3.19. Теорема. Пусть X—такое топологическое векторное пространство, что X* разделяет точки в X, и пусть AuB — непересекающиеся непустые компактные выпуклые подмножества в X. Тогда существует такой функционал A G X*, что
sup ReAx < Inf ReAy.
Отметим, что часть условий этой теоремы слабее, чем соответствующие условия теоремы 3.4 (ибо из локальной выпуклости X следует, что X* разделяет точки в X); чтобы компенсировать это, мы предполагаем зато, что оба множества AwB компактны.
Доказательство. Пусть Xw обозначает пространство X со слабой топологией. Очевидно, что множества А и В компактны в пространстве Xw. Они также и замкнуты в Xw (поскольку пространство Xw хаусдорфово). Так как Xw локально выпукло (см. п. 3.11), мы можем на основании части (Ь) теоремы 3.4 (с заменой X на Xw) утверждать, что существует функционал Л G (X^)*, удовлетворяющий условию (1). Но в п. 3.11 (в качестве следствия теоремы 3.10) мы установили, что (XJ* = Х*. Ga
3.20. Крайние точки. Пусть К—подмножество векторного пространства X. Непустое множество ScK называется крайним множеством множества К,, если ни одна точка из S не является внутренней точкой прямолинейного интервала, концы которого принадлежат К, но не принадлежат S. В аналитической форме
гл. 3. выпуклость
85.
последнее условие выглядит так: если х^/С, у Є К, 0</<1 к
tx + (\ — t)yeS,
то x?S и у^S.
Точка X0^K называется крайней точкой множества К, если одноточечное множество {х0} является крайним множеством для К.
Напомним, что выпуклой оболочкой множества EcX называется наименьшее выпуклое множество в X, содержащее E1 а замкнутой выпуклой оболочкой множества E называется замыкание его выпуклой оболочки.
В настоящее время не известно, верно ли, что каждое компактное выпуклое подмножество любого топологического векторного пространства имеет хотя бы одну крайнюю точку. Теоремы 3.21 и 3.22 показывают, что для широкого класса пространств, запас крайних точек у таких множеств весьма обилен.
3.21. Теорема Крейна — Мильмана. Пусть X—такое топологическое векторное пространство, что X* разделяет точки в X. Тогда всякое компактное выпуклое подмножество KaX совпадает с замкнутой выпуклой оболочкой множества своих крайних точек.
Доказательство. Пусть 3*—семейство всех компактных крайних подмножеств множества К. Так как К?Р, то ^Ф0. Мы воспользуемся следующими двумя свойствами 5s:
(a) если пересечение S всех множеств из некоторого непустого-подсемейства семейства P непусто, то S^*?;
(b) если Sep, AЄ X*, [X—максимум ReA на S и
Sa = \x?S: ReAx = ц},
то SA^ 3.
Утверждение (а) очевидно. Чтобы доказать (Ь), предположим, что x € К, У Є К, О < / < 1 и tx + (l—t)y = z€SA. Так как г ?S и S?fP, то x ?S и у 65. Поэтому ReAx<p, и ReAt/<|A. Поскольку RcAz = [I1 а функционал А линеен, мы заключаем, что RcAx = [A = ReЛ#, откуда x?SA и y?SA.
Фиксируем некоторое множество 5 € и обозначим через 3і' совокупность всех подмножеств множества S, принадлежащих 3і. Так как S^fP', то 5у непусто. Частично упорядочим 3s' с помощью теоретико-множественного включения. Пусть Q — максимальное линейно упорядоченное подсемейство в 3V, и пусть M — пересечение всех множеств, входящих в Q. Так как Q—центрированная система компактных множеств, то МФ0. В силу (а) M ^ 3і'. Из максимальности Q следует, что никакое собственное-подмножество множества M не входит в 3і. Поэтому в силу (Ь) всякий функционал Л Є X* постоянен на М. Так как X* разделяет точки в X, то M состоит из единственной точки, которая, очевидно, является крайней точкой множества К.
€6
часть 1. общая теория
Итак, мы доказали, что каждое компактное крайнее подмножество S множества К содержит крайнюю точку множества К. [Заметим, что до сих пор мы не пользовались выпуклостью К]
Из доказанного следует, что если H—выпуклая оболочка множества всех крайних точек К, то для любого 5 ? 9і множество Hf]S непусто.
Так как К компактно и выпукло, то HcK. Поэтому H компактно. Предположим (с целью получить противоречие), что
некоторая точка X0 ? К не принадлежит Н. По теореме 3.19 найдется такой функционал Л ? X*, что ReAx < RcAx0 для всех
