Функциональный анализ - Рудин У.
Скачать (прямая ссылка):
3.2. Теорема. Предположим, что
(a) M является подпространством вещественного векторного пространства X;
(b) функция р:Х—>R удовлетворяет условиям
р(х + у)^р(х) + р(у) и p(tx) = tp(x)
•для всех X ?Х, у(ЦХ и t^O;
(c) функционал f:M—> R линеен и f(x)^p(x) на М. Тогда существует такой линейный функционал Л:X—> R,
что
Ax = f (х) (X ? M)
¦и
—р (—X) ^ Ax ^p (х) (X ?Х).
Доказательство. Если MФХ, то выберем такой вектор JC1^X, что X1(^M, и положим
M1 = [X-^tX1: х^М, /GR}.
гл. 3. выпуклость
69
Ясно, что M1 является подпространством в X. Так как f(x)+f(y)=f(x + y)^p(x + y)^p(x—x1)+p(x1 + y),
то
(1) f(x)-pix-Xi)^piy + Xi)-f(y) (х, у?М).
Пусть а—точная верхняя грань левой части неравенства (1) по всем x ? M. Тогда
(2) f(x)—a^p(x—x1) (х^М) и
(3) f(y)+a^p(y + Xl) (УЄМ). Определим функционал /х на M1, полагая
(4) h(x + txx) = f{x) + te. (xЄМ, t?R).
Тогда fL—линейный функционал на M1 и fx=f на М.
Считая, что t > О, заменим х на 1'1x в неравенстве (2) и у на t~1y в неравенстве (3). Умножая полученные таким способом неравенства на / и учитывая (4), заключаем, что fi^p на M1.
Вторую часть доказательства можно провести одним из методов трансфинитной индукции, выбранным по вкусу; можно воспользоваться либо теоремой Цермело (всякое множество можно вполне упорядочить), либо леммой Цорна, либо теоремой Хаус-дорфа о существовании максимальных линейно упорядоченных подмножеств. Мы предпочитаем последний способ.
Пусть 9*—множество всех упорядоченных пар (M', /'), где M' — подпространство пространства X, содержащее M1 a f—такой линейный функционал на M', что /' =/ на M и f ^p на M'. .Введем в S3 частичное упорядочение, считая, что (M', f')^.(M", f"), если M' cz М" и F=F на M'. По теореме Хаусдорфа, в 9і существует максимальное линейно упорядоченное подмножество й.
Пусть Ф—множество всех таких подпространств M' пространства X, что (M', /')? Q для некоторого линейного функционала /' на M'. Тогда Ф линейно упорядочено относительно теоретико-множественного включения; следовательно, объединение M всех подпространств, принадлежащих Ф, само является подпространством пространства X. Если х ? М, то х ? M' для некоторого M' ? Ф; положим Ax = F(х)> гДе F—функционал, составляющий вместе с M' пару (M', /') Є Q.
Теперь легко проверить, что функционал Л корректно определен на М, линеен, совпадает с f на M и удовлетворяет на M
неравенству Л ^ р. Если бы M оказалось собственным подпространством в А', то конструкция, указанная в первой части доказательства, позволила бы продолжить Л на большее подпрост-
70
часть 1. общая теория
ранство (с сохранением всех нужных свойств), а это противоречило бы максимальности Q. Поэтому M=-X. Наконец, из неравенства A^p следует, что
—р{—х)<—Л (—х) = Ах
для всех х?Х, и доказательство окончено. Щ
3.3. Теорема. Пусть M—подпространство векторного пространства X, р—полунорма на X, a f—такой линейный функционал на М, что
\f(x)\Kp(x) (х?М).
Тогда на X существует такой линейный функционал Л, что*
Ax = f (х) при х?М
и
\Ах\-^.р(х) при X? X.
Доказательство. В вещественном случае утверждение этой теоремы содержится в теореме 3.2, поскольку р(—х) = р(хУ для любой полунормы р.
В комплексном случае положим и — Re /. По теореме 3.2 на X существует такой вещественно линейный функционал U, что U = U на M и U р на X. Пусть Л—комплексно линейный функционал на X, вещественная часть которого совпадает с U. По соображениям, изложенным в п. 3.1, A — f на М.
Наконец, для всякого х ? X существует такое а ? С, что \а\ = 1 и aAx = I Ax |. Поэтому
I Ax \ = А (ах) = U (ах) ^ р (ах) = р(х). Щ
Следствие. Если X —нормированное пространство и X0 ? X^ то существует такой линейный функционал А Є X*, что
Ax0 = Il х0 И и I Лл; I Jl X К для всех х ? X.
Доказательство. Если X0 = 0, возьмем Л —0. Если же X0 =?0, то применим теорему 3.3 в ситуации, когда р(*) —||х||, M—одномерное подпространство, порожденное вектором х0, а. функционал f на M определяется условием f (ax0) = a\\x0\\. Щ.
3.4. Теорема. Пусть Л и В—непустые выпуклые не пересекающиеся подмножества топологического векторного пространств ёа X.
ГЛ. 3. ВЫПУКЛОСТЬ
71
(a) Если А открыто, то существуют такой функционал А ? X* ,и такое вещественное число у, что
ReAx < у < ReAf/
для всех х?А и всех у?В.
(b) Если А компактно, В замкнуто, а X локально выпукло, .то существуют такой функционал А € X* и такие вещественные числа Y1 и у2, что
Re Ax < Y1 < у., < Re Ay для всех X ? А и всех у ? В.
Заметим, что теорема сформулирована без указания поля скаляров; разумеется, в вещественном случае ReA = A.
Доказательство. Достаточно доказать теорему в случае вещественного поля скаляров. Действительно, если рассматривается поле С, а в вещественном случае теорема уже доказана, то на X существует непрерывный вещественно линейный функционал A1, дающий нужное разделение; как отмечалось в п. 3.1, единственный комплексно линейный функционал А на X, вещественная часть которого совпадает с A1, непрерывен, так что он обладает всеми нужными свойствами. Поэтому будем считать, что поле скаляров вещественно.
