Функциональный анализ - Рудин У.
Скачать (прямая ссылка):
74
часть 1. общая теория
В качестве первого примера мы покажем, что топология компактного хаусдорфова пространства обладает определенной жесткостью, а именно ее нельзя ослабить с сохранением аксиомы отделимости Хаусдорфа и нельзя усилить, не теряя компактности.
(а) Если T1—хаусдорфова, а T3—компактная топология в X и T1CT2, то T1 = T2.
Чтобы убедиться в этом, рассмотрим произвольное ^замкнутое множество FaX. Так как X по условию т2-компактно, то таково же F. Поскольку T1CrT3, отсюда следует ^-компактность F (всякое т^открыгое покрытие множества F является также т2-открытым покрытием). Отсюда следует тгзамкнутость F1 ибо топология T1 хаусдорфова.
В качестве другого примера рассмотрим факгортопологию тд/ в факторпрсетранстве XJN1 определенную в п. 1.40, и фак-торогображение л;: X-+XJN. По самому своему определению %iV-является сильнейшей из топологий в XJN, относительно которых отображение я непрерывно, и слабейшей из топологий, относительно которых л открыто. Иными словами, если т' и т"—такие-топологии в XJN1 что я непрерывно относительно т' и открыто относительно т", то т'сгтд/сгт".
Предположим теперь, что X—множество, a W — некоторое-непустое семейство отображений /: X-*Yf, где каждое из Yf является топологическим пространством. [Во многих важных случаях Yj одно и то же для всех f?oF.] Пусть т—семейство* всех объединений всевозможных конечных пересечений множеств вида /-1(V), где f(EcF, а V—открытое множество в Y1. Тогда т—топология в X, причем она является слабейшей из топологий: в X, относительно которых все отображения /GgF непрерывны: если т' — любая другая топология, обладающая последним! свойством, то тех'. Эта топология т называется слабой топологией в X, индуцированной семейством <F, или, более сжато,. ff-топологией в X.
Несомненно, наиболее известным примером этой ситуации служит обычный способ введения топологии в декартовом произведении X семейства топологических пространств {X0)- Если Jia (х) обозначает a-координату точки х?Х, то ла отображает X на Ха и топология произведения т в X есть, по определению, описанная выше {ла}-топология, т. е. слабейшая топология, относительно которой все отображения па непрерывны. Предположим, теперь, что каждое Ха является компактным хаусдорфовым пространством. Тогда (по теореме Тихонова) топология т компактна,, и из предложения (а) следует, что ее нельзя усилить, не пожертвовав теоремой Тихонова.
гл. 3. выпуклость
75
В последнем утверждении мы молчаливо воспользовались ^частным случаем следующего предложения:
(Ь) Если W—семейство отображений f: X-+Y f, где X—множество, а каждое Yf—хаусдорфово пространство, и если (F разделяет точки в X, то W-топология в X является хаусдорфовой.
Действительно, если р и q— различные точки в X, то / (р)ф{ (q) .для некоторого /6аГ; в пространстве Yf существуют непересекающиеся окрестности точек/(р) и f(q); прообразы этих окрестностей при отображении / открыты в X (по определению) и не пересекаются.
В качестве приложения изложенных выше идей докажем следующую метризационную теорему:
(с) Пусть X —компактное топологическое пространство. Если некоторая последовательность вещественных непрерывных функций Ifn} разделяет точки в X, то пространство X метризуемо.
Пусть т—исходная топология в X. Не ограничивая общности, можно считать, что | /„ | ^ 1 для всех п; пусть rd—топология в X, индуцированная метрикой
OO
d(p, q)=22-n\L(p)-f»(Q)\.
п= 1
Это действительно метрика, поскольку \[п} разделяет точки. Из т-непрерывности функций [п и равномерной сходимости ряда, определяющего d, на XxX следует т-непрерывность d на X X X. Поэтому шары
Br(p) = {qeX: d{p,q)<r)
являются т-открытыми множествами в X. Таким образом, т^егт. Так как топология xd индуцирована метрикой, то она хаусдор-фова, и из (а) следует теперь, что та = х.
Следующая лемма находит применения при изучении векторных топологий. В частном случае п = 1 она уже потребовалась нам в конце доказательства теоремы 3.6 (и была там доказана).
3.9. Лемма. Пусть A1, An и А — линейные функционалы на векторном пространстве X, и пусть
N = {х: A1X= ...= AnX = O}.
Тогда следующие три утверждения эквивалентны:
(a) существуют такие скаляры Ct1, ап, что
А = а1А1 + ...+аяЛя;
(b) существует такое у<оо, что
\Ах\^у max | A1-Jf J (х ?Х);
jc) Ajc = 0 для всех x^Nt
76
часть 1. общая теория
Доказательство. Ясно, что из (а) следует (Ь) и из (Ь) следует (с). Предположим, что выполняется (с). Пусть Ф—поле скаляров. Определим отображение я: Х->Ф", полагая
я (х) = (AjXy Лил-).
Если я (л:) = я (л:'), то из (с) следует, что Ax = Ax'. Поэтому на Фи существует такая скалярная функция F, что A = Fon. Ясно, что F—линейный функционал на Ф'\ Поэтому найдутся такие.-Ct1 G Ф, что
F(W1, Un)=ClxU1 -f.. .+CtnUn.
Таким образом,
п
Ax = F(n (х)) = F (A1X1 Апх) = 2 ^A1X,
1 = 1
что совпадает с (а). Ц
3.10. Теорема. Пусть X—векторное пространство, а X'— некоторое разделяющее точки в X векторное пространство линейных функционалов на X. Тогда X'-топология т' превращает X в локально выпуклое пространство, сопряженное к которому совпадает с X'.
