Функциональный анализ - Рудин У.
Скачать (прямая ссылка):
Показать, что выпуклая оболочка множества К не замкнута.
66
часть 1. общая теория
9. Пусть X, Y и Z—банаховы пространства, и пусть
B:XXY—>Z
— непрерывное билинейное отображение. Доказать, что существует такое M < оо, что
\\В(х, У) Il OWIMlIMI (х?Х> У Существенно ли здесь условие полноты?
10- Доказать, что билинейное отображение, непрерывное в точке (О, 0), непрерывно.
11. Определим отображение В: R2XR—^R2, полагая В (xlt х2; у)— ^=(X1I/, х.2у) ((X1, X2) € R2, у ? R). Показать, что В— непрерывное билинейное отображение R2XR на R2 и что В не является открытым в точке (1, 1; 0). Найти все точки, в которых отображение В открыто.
12. Пусть X — нормированное пространство всех вещественных полиномов от одной переменной с нормой
1
11/H=JlHOI*.
о
1
и пусть В (f, g)—^f(t)g(t)dt\ показать, что ? — билинейный функционал о
на XxX, который раздельно непрерывен, но не непрерывен.
13. Пусть X—топологическое векторное пространство, являющееся множеством второй категории в себе, и пусть К — замкнутое выпуклое поглощающее подмножество в X. Доказать, что К содержит окрестность нуля.
Наводящее соображение. Покажите сначала, что множество II== К Q (—д-) является поглощающим. По кагегорным соображениям H имеет непустую внутренность. Затем воспользуйтесь соотношениями
г// = //+//=*/—//.
Покажите, что без предположения выпуклости К утверждение неверно, даже если X=R2. Покажите, что утверждение неверно, если X есть пространство L2, наделенное топологией с помощью /Лнормы (как в упр. 4).
14. (а) Пусть X и Y—топологические векторные пространства, {Ля} — равностепенно непрерывная последовательность линейных отображений X в У, а С—множество всех тех х ? X, для которых \Апх} является последовательностью Коши в Y. Доказать, что С — замкнутое подпространство в X.
(Ь) Предположим, в дополнение к условиям п. (а), что Y является /"-пространством и что последовательность {Л„х} сходится для всех х из некоторого всюду плотного в X подмножества. Доказать, что тогда предел
Ax= lim Апх
л->со
.существует для всякого X ? X и что отображение Л непрерывно.
Глава З ВЫПУКЛОСТЬ
В этой главе изучается главным образом (хотя и не исключительно) наиболее важный класс топологических векторных пространств, а именно локально выпуклые пространства. Основными фактами как в теоретическом плане, так и с точки зрения приложений являются: (а) теорема Хана—Банаха (гарантирующая запас непрерывных линейных функционалов, достаточный для построения весьма продвинутой теории двойственности), (Ь) теорема Банаха—Алаоглу о компактности в сопряженном пространстве и (с) теорема Крейна—Мильмана о крайних точках. Приложения к различным задачам анализа отложены до главы 5.
Теоремы Хана — Банаха
Множественное число в заглавии употреблено по той причине, что название «теорема Хана—Банаха» обычно относится к нескольким тесно связанным между собой результатам. Среди них—теоремы 3.2 и 3.3 о продолжении с сохранением мажоранты (в которых топология не участвует), теорема 3.4 о разделении выпуклых множеств и теорема 3.6 о непрерывном продолжении. Другая теорема о разделении (из которой следует теорема 3.4) приводится в упр. 3.
3.1. Определения. Сопряженным пространством для топологического векторного пространства X называется векторное пространство X*, состоящее из всех непрерывных линейные функционалов на X.
Заметим, что сложение и умножение на скаляры в X* опре* деляются формулами
(A1+ A2) * = A1Jf+ Л8#, (аА) X = cl-Ax.
Ясно, что эти операции действительно превращают X* в вектор» ное пространство.
68
часть 1. общая теория
Нам придется пользоваться тем очевидным фактом, что каждое комплексное векторное пространство является также вещественным векторным пространством. Для удобства мы будем употреблять следующую (временную) терминологию: аддитивный функционал Л на комплексном векторном пространстве X называется вещественно линейным (комплексно линейным), если Л(ал:) = аЛл: для любого х?Х и любого вещественного (соответственно комплексного) скаляра а. Наше постоянно действующее соглашение, по которому всякое утверждение, не содержащее явного упоминания поля скаляров, относится как к комплексному, так и к вещественному случаю, не затрагивается введением этой временной терминологии и по-прежнему остается в силе.
Вещественная часть и комплексно линейного функционала f на X является вещественно линейным функционалом и
(1) f (х) = и (x) — iu (ix) (X € X),
поскольку z = Rez—/Re (iz) для всякого Z ? С.
Обратно, если и:X—> R—вещественно линейный функционал «а комплексном векторном пространстве X, то простые вычисления показывают, что функционал /, определенный формулой (1), является комплексно линейным.
Предположим теперь, что X — комплексное топологическое векторное пространство. Из перечисленных выше фактов следует, •что комплексно линейный функционал на X принадлежит X* тогда и только тогда, когда его вещественная часть непрерывна, и что каждый непрерывный вещественно линейный функционал и:X—> R является вещественной частью единственного функционала /?Х*.
