Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Рудин У. -> "Функциональный анализ" -> 21

Функциональный анализ - Рудин У.

Рудин У. Функциональный анализ — М.: Мир, 1975. — 449 c.
Скачать (прямая ссылка): funkcanaliz1975.djvu
Предыдущая << 1 .. 15 16 17 18 19 20 < 21 > 22 23 24 25 26 27 .. 171 >> Следующая

Л (V) cz Ax0-A (E) cz V-V cz W
для всякого Л G Г.
Это показывает, что Г равностепенно непрерывно. По теореме 2.4 семейство Г равномерно ограничено; в частости, каждое из множеств Г (х) ограничено в У. Следовательно, B = X. Щ
Во многих приложениях условие, что В является множеством второй категории, проверяется с помощью теоремы Бэра. Например, все F-пространства являются множествами второй категории (в себе). Это приводит к такому следствию теоремы Банаха — Штейпгауза:
2.6. Теорема. Если Г—семейство непрерывных линейных отображений F-пространства X в топологическое векторное пространство Y и при каждом х?Х множество
T (х) = {Ах: Л Є Г} ограничено в Y, то семейство Г равностепенно непрерывно.
Короче говоря, поточечная ограниченность влечет за собой равномерную ограниченность (теорема 2.4).
Отметим следующий частный случай теоремы 2.G. Пусть X— банахово, a Y — нормированное пространства; предположим, что
(1) sup (ІЛл:Il < оо для всякого х?Х. лег
Тогда теорема утверждает, что существует такое AJ < оо, для которого
(2) И Л* |К Af, если Il л: IKl и Л?Г. Следовательно,
(3) II Ax|К м Ilх Il для всех х?Х к всех Л? Г.
В следующей теореме устанавливается непрерывность предела. последовательности непрерывных линейных отображений.
56
ЧАСТЬ 1. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ
2.7. Теорема. Пусть X и Y—топологические векторные пространства, a {An}—последовательность непрерывных линейных отображений XeY.
(a) Пусть С—множество всех тех х^Х, для которых \Апх\ является последовательностью Коши в Y. Если С—множество второй категории в X, то C = X.
(b) Пусть L—множество всех тех х?Х, для которых существует предел
Ax= lim Апх.
П -> со
Если L—множество второй категории в X, a Y есть F-пространство, то L = X и отображение А: X —»¦ Y непрерывно.
Доказательство, (а) Так как всякая последовательность Коши ограничена (п. 1.29), то теорема Банаха — Штейнгауза показывает, что семейство {Л„} равностепенно непрерывно.
Легко проверить, что С — подпространство в X. Следовательно,
С всюду плотно. [В противном случае С было бы собственным подпространством пространства X; но собственные подпространства не имеют внутренних точек, поэтому С было бы множеством первой категории.]
Фиксируем X ? X, и пусть W—окрестность нуля в Y. Поскольку семейство {Л„} равностепенно непрерывно, в X найдется такая симметричная окрестность нуля V, что An (V) cz W при всех п. Так как С всюду плотно, то существует точка х' ? С Г) (x-\-V). Пусть тип столь велики, что
Anx'-Amx'?W;
тождество
(An-An)X = An (х—х') + (An-An) X' +Л,д (*'—*)
показывает, что AnX—AnX ? W-\- W-\-W. Поэтому {Апх\ — последовательность Коши в К; стало быть, х?С.
(Ъ) Из полноты Y следует, что L = C Поэтому, согласно (а), L = X. Пусть W и V обозначают то же, что ив доказательстве утверждения (а); тогда Л„ (V) <zz W для всех п, откуда следует,
что Л (V) cz W. Таким образом, Л непрерывно. Ц
Условия части (Ь) теоремы 2.7 можно различными способами варьировать. Вот легко запоминающийся вариант:
2.8. Теорема. Пусть {An) — последовательность непрерывных линейных отображений F-пространства X в топологическое векторное пространство Y. Если для каждого х?Х существует
ГЛ. 2. ПОЛНОТА
57
предел
Ax = Hm AnXy
П -*• СО
то отображение А непрерывно.
Доказательство. Из теоремы 2.6 следует равностепенная непрерывность семейства {Л„[. Поэтому если W—окрестность нуля в Y, то в X найдется такая окрестность нуля V,
что An(V)(ZzW для всех п. Отсюда следует, что A(V) cz W; поэтому отображение Л непрерывно (и, очевидно, линейно). Щ
В следующем варианте теоремы Банаха—Штейнгауза кате-горные соображения используются не для полных метрических пространств, а для компактного множества. При этом существенную роль играет также условие выпуклости (см. упр. 8)-
2.9. Теорема. Пусть X и Y — топологические векторные пространства, К—компактное выпуклое подмножество в X, а Г — такое семейство непрерывных линейных отображений XeY, что-для каждого х?К орбита
Г (л;) = {Л*: Л Є Г}
является ограниченным множеством в Y. Тогда существует такое ограниченное множество В czY, что A(K) <= В для всех Л ? Г.
Доказательство. Пусть В—объединение множеств Г (л:) по всем X € К, и пусть W и U—такие уравновешенные окрестности нуля в Y, что U-\-U cz W. Положим
(1) E= П А-1 (P).
AeT
Если X ^ К, то Г (х)cznU для некоторого п, так что х ? пЕ. Следовательно,
(2) /С== U (К QnE).
/2=1
Поскольку E замкнуто, теорема Бэра показывает, что хотя бы для одного п множество КПпЕ имеет непустую внутренность (относительно К).
Фиксируем такое п и выберем внутреннюю точку X0 множества К QnE', в пространстве X существует такая окрестность нуля V, что
(3) Kt)(x0 + V)czK(]nEcz пЕ.
Так как К компактно, то найдется такое р> 1, что
(4) Kcz X0 і pV.
-58
ЧАСТЬ 1. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ
Если теперь X—любая точка множества К, а
<5) г = (1—р-*)*0 + р-»*,
то z ? К, поскольку К выпукло. Кроме того, в силу (4)
(6) z—x0 = p~l (X-X0) 6 V.
¦Следовательно, учитывая (3), получаем, что z?nE. Так как Л(пЕ)а nU для каждого ЛЄГ, a x = pz— (р—I)X0, то
Ax?pnU — (p — \)nUcz pn(U+Z7)c pnW.
Предыдущая << 1 .. 15 16 17 18 19 20 < 21 > 22 23 24 25 26 27 .. 171 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed