Функциональный анализ - Рудин У.
Скачать (прямая ссылка):
Бэровская категория
2.1. Определение. Пусть «S—топологическое пространство. Множество E с: S называется нигде не плотным, если его замыкание Ё имеет пустую внутренность. Множества первой категории в S—это множества, являющиеся счетными объединениями нигде не плотных множеств. Каждое подмножество в S, которое не является множеством первой категории, называется множеством второй категории.
Эта терминология (принадлежащая Бэру), по общему признанию, довольно невыразительна и не вызывает полезных ассоциаций. Вместо нее в некоторых руководствах употребляются термины худое (тощее) и нехудое (нетощее) множество. Однако «категорпые доводы» настолько укрепились в математической литературе и столь широко известны, что, по-видимому, бессмысленно настаивать на изменении.
Вот некоторые очевидные свойства категории, которыми мы будем свободно пользоваться в дальнейшем:
ГЛ. 2. ПОЛНОТА
53-
(a) если В—множество первой категории в 5 и А a B1 то А тоже множество первой категории;
(b) каждое счетное объединение множеств первой категории является множеством первой категории;
(c) каждое замкнутое множество E cz S с пустой внутренностью является множеством первой категории в S;
(d) если h—гомеоморфизм пространства 5 на себя, то для любого E cz S множества E и h (E) имеют одну и ту же категорию в S.
2.2. Теорема Бэра. Пусть S—либо
(a) полное метрическое пространство, либо
(b) локально компактное хаусдорфово пространство;
тогда пересечение любого счетного семейства открытых всюду-плотных подмножеств пространства S всюду плотно в S.
Этот результат часто называют теоремой о категории по' следующей причине. Если {Ei) — счетное семейство нигде неплотных подмножеств пространства 5, a V1—дополнение к то каждое из множеств Vt открыто и всюду плотно; теорема Бэра показывает, что OV1-=^ 0. Следовательно, S=^ U E1.
Таким образом, полные метрические пространства и локально компактные хаусдорфовы пространства являются множествами, второй категории в себе.
Доказательство. Предположим, что V1, V2, V3,...— открытые всюду плотные подмножества в S. Пусть B0—произвольное непустое открытое множество в 5. Если /2^1 и уже выбрано некоторое непустое открытое множество то (по-
скольку Vn всюду плотно) можно так выбрать непустое открытое множество Bn, что
BnCiVnQB^1.
В случае (а) в качестве Bn можно взять некоторый шар радиуса
< 1/я, а в случае (Ь) этот выбор можно сделать так, что Bn компактно. Положим
K = Г) Bn.
В случае (а) центры вложенных шаров Bn образуют последовательность Коши, сходящуюся к некоторой точке из К, так что К непусто. В случае (Ь) множество К непусто по соображениям компактности. По построению KaB0 и К CiVn при любом п.. Следовательно, B0 пересекается с Л Vn. Щ
¦54 ЧАСТЬ 1. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ
Теорема Банаха — Штейнгауза
2.3. Равностепенная непрерывность. Пусть X и Y—топологические векторные пространства, а Г — некоторое семейство линейных отображений XbY. Мы говорим, что семейство Г равностепенно непрерывно, если для любой окрестности пуля W в Y найдется такая окрестность нуля V в X1 что Л (V) cz W для всех Л € Г.
Если Г содержит лишь одно отображение Л, то равностепенная непрерывность, разумеется, равносильна непрерывности Л (теорема 1.17). Мы уже видели (теорема 1.32), что непрерывные линейные отображения ограничены. Равностепенно непрерывные семейства обладают этим свойством ограниченности в равномерном смысле (теорема 2.4). По этой причине теорему Банаха — Штейнгауза 2.5 часто называют принципом равномерной ограниченности .
2.4. Теорема. Пусть X и Y—топологические векторные пространства, Г—равностепенно непрерывное семейство линейных отображений X в Y, a E—ограниченное подмножество в X. Тогда в Y существует такое ограниченное подмножество F, что A (E) cz F для любого Л € Г.
Доказательство. Пусть F—объединение всех множеств A(E) по всем Л6 Г, и пусть W—окрестность нуля в Y. Так как семейство Г равностепенно непрерывно, то существует такая окрестность нуля VbX, что A(V) cz W для всех Л € Г. Поскольку E ограничено, E cz tV для всех достаточно больших положительных t. Для таких /
Л (E) cz A (tV) = IA (V) cz tW, так что F cz tW. Следовательно, F ограничено. Ц
2.5. Теорема Банаха — Штейнгауза. Пусть X и Y—топологические векторные пространства, Г—некоторое семейство непрерывных линейных отображений X в Y, а В—множество всех таких точек х^Х, орбиты которых
Г(л:)НЛл:: Л € Г}
ограничены в Y. Если В—множество второй категории в X, то B = Xu семейство Г равностепенно непрерывно.
Доказательство. Выберем в Y такие уравновешенные окрестности пуля U и W, что U -f U cz W1 и положим
E= Л A-l(U).
Л Є г
Если X ? В, то T(x)cznU для некоторого п, так что х?пЕ.
ГЛ. 2. ПОЛНОТА
55
Следовательно,
(X
?c U пЕ.
/1=1
По крайней мере одно из множеств пЕ является множеством второй категории в X, поскольку по предположению таковым является В. Так как отображение х—*-пх определяет гомеоморфизм пространства X на себя, то само E тоже является множеством второй категории в X. Но E замкнуто, ибо каждое из отображений Л непрерывно; поэтому в ? существует внутренняя точка х0. Множество x0—E содержит некоторую окрестность нуля V, причем
