Функциональный анализ - Рудин У.
Скачать (прямая ссылка):
(c) Доказать, что каждый непрерывный линейный функционал на пространстве (С, т) представим в виде
При подходящем выборе точек ar1, ...,хп из [О, JJ и скаляров с,?С.
(d) Доказать, что (С, а) не содержит выпуклых открытых множеств, отличных от 0 и С.
(с) Доказать, что отображение id: (С, о)—> (С, т) разрывно.
!4. Положим К = [0, 1]и определим <3)% так же, как в п. 1.46. Показать, что следующие три семейства полунорм определяют в „<2>д' одну и ту же топологию (ниже D—d/ix и л = 0, 1, 2, ...):
(a) И D«/ =sup { I D"f (X) |: - «>< х < сс };
]
(b) Il D»/ H1-JlD»/ (a') I dx;
о
( 1 Ї 1/2
(c)||D"/||2={$|D'7(*)|2rf4 .
,о ^
15. Доказать, что пространство C(Q) (п. 1.44) не обладает свойством Гейне — Бореля.
16. Доказать, что топология пространства С (Q) не зависит от того, как именно выбраны участвующие в ее определении множества Кп> если только они удовлетворяют условиям, указанным в п. 1.44. Сделать то же самое для пространства С°° (Q) (п. 1.4G).
17. В ситуации и. 1.46 доказать, что для каждого мультииндекса а отображение /—^Daf пространства С00 (Q) в себя (а также пространства
в себя) непрерывно.
18. Полунормы
Pn(/)=sup{I /(*) V —п^х^п}
50
ЧАСТЬ 1. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ
индуцируют метрику
OO
л(л & 2- i+Pa(f-g)
n=i
D пространстве C(R) (ср. п. 1.44 и замечание (с) п. 1.38). Пусть
f W = max (0, 1-\х\), g (х)= 100/ (*-2), 2h = f+g. Показать, что
d(f, 0)-1, rf(g, 0) = ^, J(Л, 0) = 1+?
Отсюда следует, что шары радиуса 1/2 не являются выпуклыми множествами, хотя метрика d совместима с обычной локально выпуклой топологией пространства С (R).
Существует ли какое-нибудь положительное г < 1, для которого шары радиуса г выпуклы?
19. Пусть M — всюду плотное подпространство топологического векторного пространства X, и пусть Y — некоторое ^-пространство, а Л: M—>F—непрерывное (относительно топологии, наследуемой M из X) линейное отображение. Доказать, что Л обладает (единственным) непрерывным линейным продолжением Л: X—^Y.
Наводящее соображение. Пусть Vn— такие уравновешенные окрестности нуля в X, что Vn+ Vn CZ Vn-! и d (0, Ax) < 2~п при х ? M Г) Vn. Покажите, что если
X ? X и Xn ? (x+V„) П то {Л%„} —последовательность Коши; пусть Лл; — ее предел. Покажите, что этим корректно определяется непрерывное линейное отображение Л пространства X в Y, причем Kx=Ax при х ? М.
20. Для каждого вещественного числа t и каждого целого п положим en(l)—eint и определим функции
fn = e-tt + nen (ft=l, 2, 3, ...).
Будем рассматривать эти функции как элементы пространства L2 (— л, л). Пусть X1 — наименьшее замкнутое подпространство в L2, содержащее функции еп, ех, е2, a X2—наименьшее замкнутое подпространство в L2,
содержащее fu /2, /3.....Показать, что X1 + X2 всюду плотно в L2, но
не замкнуто. Например, вектор
со
X= 2 п~1е-п
принадлежит L2, но не принадлежит X1-^X2 (ср. с теоремой 1.42).
21. Пусть V—окрестность нуля в топологическом векторном пространстве X. Доказать, что существует такая вещественная непрерывная на X функция /, что /(0) = 0 и /(*) —1, если X не принадлежит V. (Таким образом, X является вполне регулярным топологическим пространством.) Пусть Vn — такие уравновешенные окрестности нуля, что V1 + V1CZ V и Vn + 1 + Vn+1czVn. Постройте функцию / так же, как в доказательстве теоремы 1.24. Покажите, что / непрерывна в нуле и что
I/(*)-/(</) I </(*-*/)•
22. Для каждой комплексной функции /, определенной па компактном интервале / = [0, l]crR, положим
<»б(/) = sup {I/(X)-/ДО I: |*-j/|<6, X 6 /, у ? /}.
ГЛ. 1. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
51
Если 0 < ocs^l, то соответствующее липшицево пространство Lip а состоит, по определению, из всех функций /, для которых величина
Доказать, что Lipo: является банаховым пространством и что Ира — его замкнутое подпространство.
23. Пусть X — векторное пространство всех непрерывных функций неоткрытом интервале (0, 1). Для [^иг>0 обозначим через V (/, г) множество всех g ? X, для которых \g(x)— f (х)\ < г при всех X ? (0, 1). Пусть т—топология в Xy порожденная всеми такими множествами V (/, л). Показать, что сложение т-непрерьыно, а умножение на скаляры таковым не является.
24. Пусть U — окрестность нуля в топологическом векторном пространстве, и пусть № и А — множества, построенные по (У в доказательстве теоремы 1.14. Показать, что W может не быть выпуклым и что если U не выпукло, то А может не быть уравновешенным.
ІШІH / (0) I+ sup {6-«o)6 (/): O > 0)
конечна. Положим
Глава 2 ПОЛПОТА
Справедливость многих важных теорем анализа зависит от полноты пространств, в которых развивается действие. Именно' этим объясняются недостаточность рациональных чисел и интеграла Римана (если говорить лишь о наиболее известных примерах) и тот успех, который достигается при замене их вещественными числами и интегралом Лебега. Основным инструментом в этой области служит теорема Бэра о полных метрических пространствах (часто называемая теоремой о категории). Чтобы подчеркнуть роль, которую играет понятие категории, мы доказываем некоторые теоремы этой главы (например, теоремы 2.7 и 2.11) в чуть большей общности, чем это обычно бывает нужно. После того как это сделано, приводятся также более простые варианты (легче запоминающиеся и достаточные для большинства приложений),
