Функциональный анализ - Рудин У.
Скачать (прямая ссылка):
гл. 3. выпуклость
89-
(1<1<г+1). -v' и ^ = 0- ¦ Интегрирование векторных функций
Иногда желательно иметь возможность интегрировать функции f, определенные на некотором пространстве Q с мерой р, (вещественной или комплексной) и принимающие значения в некотором топологическом векторном пространстве X. Первая проблема состоит в том, чтобы сопоставить такой функции f вектор
]f dp
Q
пространства X1 заслуживающий называться ее интегралом, т. е-обладающий хотя бы некоторыми из тех свойств, которыми обычно обладает интеграл. Например, для любого функционала AGX* должно выполняться равенство
Л (\ fdp Л = J (Af)
поскольку аналогичное равенство верно для конечных сумм,, а интеграл всегда является (или должен быть) пределом таких сумм в том или ином смысле. В действительности наше определение интеграла будет основано на одном этом требовании.
Известны и весьма подробно изучены также многие другие подходы к интегрированию векторных функций; некоторые из них основаны на более прямом определении интеграла как предела сумм (см. упр. 23).
3.26. Определение. Пусть Q—пространство с мерой p, X — такое топологическое векторное пространство, что X* разделяет точки в X, а /—такая функция на Q со значениями в X, что для всякого функционала Л G X* скалярная функция Af интегрируема по мере р; заметим, что функция Af определяется соотношением
0) (Af) (Q)= A (f (q)) (q GQ).
Если существует такой вектор у GX, что (2) Ay =-- \ (Af) ф
Q
и положим
Тогда с,-> 0, 2с,= 2У, = 1, X =
90
часть 1. общая теория
для любого функционала Л € X*, то мы полагаем
Q
и называем этот вектор интегралом функции f по мере \х.
Замечание. Так как X* разделяет точки в X, то ясно, что может существовать не более чем один такой вектор у. Поэтому здесь не возникает проблемы единственности интеграла.
Существование будет доказано лишь в довольно частном случае (достаточном, однако, для многих приложений), когда пространство Q компактно, а функция / непрерывна. В этом случае множество f (Q) компактно, и единственное дополнительное условие, которое мы наложим, состоит в том, что замкнутая выпуклая оболочка этого множества тоже должна быть компактной. По теореме 3.25 это дополнительное условие автоматически выполняется, если X-—пространство Фреше.
Напомним, что борелевской мерой па компактном (или локально компактном) хаусдорфовом пространстве Q называется мера1), определенная на сг-алгебре всех борелевских подмножеств пространства Q, т. е. па минимальной о-алгебре, содержащей все открытые подмножества пространства Q. Вероятностной мспой называется положительная мера, полная масса которой равна 1.
3.27. Теорема. Пусть X—такое топологическое векторное пространство, что X* разделяет точки в X, и пусть р.—боре-левская вероятностная мера на некотором компактном хаусдорфовом пространстве Q. Если отображение f: Q—*Х непрерывно
и если замыкание H выпуклой оболочки H множества f (Q) компактно в X, то интеграл в смысле определения. 3.26
существует. Кроме того, у Є И.
Замечание. Любая положительная борелевская мера v на Q становится вероятностной после умножения ее на подходящее число; поэтому теорема (за исключением ее последнего утверждения) верна и для таких мер v. С помощью теоремы Жордана
l) В определение борелевской меры [X на Q обычно включают еще следующее условие: І {.і (E) I < оо для любого компактного множества EczQ. [Для комплексных мер это всегда так по общепринятому толкованию термина «комплексная мера», однако вещественная борелевская мера (например, обычная мера Лебега в R) можег в числе своих значений иметь один (и только один) из символов -f-oo, —оо.] Как можно судить по замечанию, следующему за формулировкой теоремы 3.27, автор молчаливо предполагает, чго это условие выполняется.— Прим. перев.
О)
Q
гл. 3. выпуклость
91
о разложении ее можно обобщить на любые вещественные борс-левские меры, а также (если поле скаляров пространства X есть С) на комплексные меры. В упр. 24 приводится обобщение другого рода.
Доказательство. Будем считать, что пространство X вещественнох). Мы должны доказать существование такого вектора у?Н, что
(2) Ay = J (Af) ф
Q
для любого функционала Л GX*.
Пусть L = JA11 An) — конечное подмножество в X*, и
пусть E і—множество всех векторов у ЄН, удовлетворяющих соотношению (2) для каждого Л G L. Каждое из множеств E1 замкнуто (в силу непрерывности функционалов Л) и потому компактно,
ибо H компактно. Если все множества E1 непусты, то они образуют центрированную систему. В этом случае пересечение всех E1 непусто, и каждый вектор у, принадлежащий этому пересечению, удовлетворяет условию (2) для всех AGX*. Поэтому достаточно доказать, что ЕьФ0.
Рассмотрим L = {A1, An) как отображение пространства X в R". Пусть K = L(f(Q)). Положим
(3) mi = J (A1/) d\i (1 < і < л).
Q
Мы утверждаем, что точка т = (тх, тп) принадлежит выпуклой оболочке 5 множества К.
Если t = (tlt tn) G R* не принадлежит S, то (учитывая теорему 3.25 и утверждение (Ь) теоремы 3.4 и пользуясь известным видом линейных функционалов- на R") мы заключаем, что существуют такие вещественные числа C11 сп, для которых
