Функциональный анализ - Рудин У.
Скачать (прямая ссылка):
¦(2) |1аЛ||На|||Л||.
106 часть 1. общая теория
Л1-»-ОЭ
Ясно, что отображение Л: X-^-Y линейно. Пусть є > 0; при достаточно больших тип правая часть неравенства (4) не превосходит е||я||. Отсюда следует, что для всех достаточно больших т
(6) ||Лх-Лях||<б||*||.
Поэтому Il Ax |К (IIA771 Il + є) II X ||, так что Л?$(Х, Y) w Il Л—A77JKe. Таким образом, Ат-*-А по норме в J3(X, У). Это* доказывает полноту пространства 33(X,Y). Щ
4.2. Двойственность. Нам будет удобно обозначать элементы пространства X*, сопряженного к X, через х* и писать
(1) <х,х*>
вместо х* (х). Эти обозначения хорошо согласуются с симметрией" (или двойственностью), существующей между действием пространства X* на X, с одной стороны, и действием X на X* — с другой. Следующая теорема устанавливает некоторые основные свойства этой двойственности.
4.3. Теорема. Пусть В—замкнутый единичный шар в нормированном пространстве X. Положим для всякого х*?Х*
IHII = SUpIIa, х*>|: X 6 В}.
(a) Эта норма превращает X* в банахово пространство.
(b) Пусть В*—замкнутый единичный шар в X*. Тогда
IHI = SUp {|<*, **>|: х* ?В*)
Неравенство треугольника в Y показывает, что
Il (A1 + A2) X Il = Il A1* + A2X Il < Il A1X Il + И A2* || < < (IIA1 Il + 11A2 H) IHKHA1|| + ||А2||
для любого х?Х, удовлетворяющего условию Il д; IKl. Поэтому
(3) Il A1 + A21|< Il A1 Il + И A21|.
Если A=T^O, то AxФ0 для некоторого х?Х; поэтому ||Л||>0.. Таким образом, SB(X, Y) — нормированное пространство.
Предположим теперь, что пространство Y полно, и пусть {An) — последовательность Копій в SB(X1Y). Так как
(4) Il Апх-Атх |К Il An-An II II X К,
а по предположению \\Ап—Лст||->0, если т и п стремятся к оо,. то {Апх\ является последовательностью Коши в Y для всякого. X G X. Поэтому для любого X G X существует предел
(5) Ax = Hm Апх.
гл. 4. двойственность b банаховых пространствах
107
(для всякого х? X. Следовательно, для каждого х?Х отображение .х*—><(х, х*> определяет ограниченный линейный функционал на .пространстве X*, причем норма этого функционала равна \\х\\. (с) Шар В* слабо* компактен.
Доказательство. Если Y—поле скаляров, то S(X, Y) = =Х*; поэтому утверждение (а) является следствием теоремы 4.1.
Фиксируем X ? X. Следствие теоремы 3.3 показывает, что существует такой элемент у* € В*, что
'(1) <х, у*> = \\х\\.
С другой стороны, для всякого Xf ? В*
(2) \<х, *'>|<1И1МК1И.
"Утверждение (Ь) следует из (1) и (2).
Поскольку открытый единичный шар U всюду плотен в В, ¦из определения нормы в X* следует, что элемент х* G X* принадлежит В* тогда и только тогда, когда |<лт, л:*>|^1 для всех X?U. Поэтому справедливость утверждения (с) непосредственно следует из теоремы 3.15. Ц
Замечание. Слабая* топология в X* является, по определению, слабейшей из топологий, относительно которых непрерывны все функционалы
X*—*<х, л*>.
"Поэтому утверждение (Ь) показывает, что топология в X*, индуцированная нормой, сильнее, чем слабая* топология; в действительности (за исключением случая dim X < со) первая топология -строго сильнее второй, поскольку предложение, установленное в конце п. 3.11, справедливо также и для слабой* топологии.
В дальнейшем, если явно не оговорено противное, символ X* всегда будет обозначать нормированное сопряженное пространство пространства X (при условии, что само X — нормированное пространство) и все топологические понятия, связанные с X*, будут относиться к топологии, индуцированной нормой. (Это никоим образом не означает, что слабая* топология в X* не будет играть важной роли.) В описанной ситуации топологии пространств X и X*, индуцированные их нормами, будут называться сильными.
Теперь мы дадим другое описание операторной нормы, определенной в теореме 4.1.
4.4. Теорема. Если X и Y—нормированные пространства и A?fo{X, Y), то
||A|| = sup{|<A*f у*>\: Н< і, ИЯКи-
108
часть і. общая теория
Доказательство. Применяя утверждение (Ь) теоремы 4.3* к вектору Лл: пространства У, получаем, что для любого х?Х
И Ax I] = supTlOVx, у*>\: И у* || < 1}. Для завершения доказательства достаточно вспомнить, что
||A|| = sup{||A^Ji:"|i4<i}.i|
4.5. Второе сопряженное пространство банахова пространства-
Нормированное сопряженное пространство X* банахова пространства X само является банаховым пространством и в свою очередь, имеет нормированное сопряженное пространство, которое обозначается X** и также является банаховым пространством. Утверждение (Ь) теоремы 4.3 показывает, что каждый вектор х?Х определяет единственный элемент фдг^Х**, удовлетворяющий соотношению
(1) <х, = Ф*> (** Є X*), и что
(2) Il Ф*II-II*Il (х?Х)-
Из (1) следует, что отображение ф:Х—>X** линейно, а в силу (2) оно является изометрией. Так как X сейчас предполагается полным, то ф (X) замкнуто в Xа*.
Значит, отображение ф осуществляет изометрический изоморфизм меясду пространством X и замкнутым подпространством. Ф (X) пространства X**.
Часто X отождествляют с ф (X) и рассматривают X как замкнутое подпространство пространства X**.
Элементами подпространства ф (X) являются те и только те линейные функционалы на пространстве X*, которые непрерывны относительно слабой* топологии (см. п. 3.14). Так как эта топология слабее, чем сильная топология в X*, то может случиться,, что ф (X)—собственное подпространство в X**. Имеется, однако, много важных пространств X (например, все пространства LP' при 1 < р < оо), для которых ф(Х) = Х**; такие пространства называются рефлексивными. Некоторые свойства таких пространств приводятся в упр. 1.
