Функциональный анализ - Рудин У.
Скачать (прямая ссылка):
(c) оператор Т* инъективен, и его образ 91(T*) сильно замкнут в X*.
Если (с) справедливо, то, применяя теорему об открытом отображении к оператору Т*: У* —> 91 (T*), получаем (Ь). Обратно, если справедливо (Ь), то очевидно, что оператор Т* инъективен
гл. 4. двойственность в банаховых пространств л x ЦТ
и что прообраз (относительно T*) любой последовательности Ko-ши в M(T*) является последовательностью Коши в Y*; поэтому M(T*) полно и, следовательно, замкнуто в X*. Щ
Компактные операторы
4.16. Определение. Предположим, что X и Y — банаховы пространства, и пусть U—открытый единичный шар в X. Оператор T?SB(X, Y) называется компактным, если замыкание множества T(U) в Y компактно1).
Напомним, что подмножества топологического пространства, замыкания которых компактны, называются относительно компактными. Так как Y—полное метрическое пространство, то его подмножество относительно компактно тогда и только тогда, когда оно вполне ограничено. Таким образом, оператор T € SB (X, Y) компактен тогда и только тогда, когда множество T (U) вполне ограничено. Компактность оператора T равносильна также тому, что всякая ограниченная последовательность \хп) в X содержит такую подпоследовательность \хп.\, для которой {Тхп.\ сходится
к некоторой точке пространства Y.
Многие из операторов, возникающих при изучении интегральных уравнений, являются компактными. Этим объясняется важность компактных операторов с точки зрения приложений. В некоторых отношениях компактные операторы настолько похожи на линейные операторы в конечномерных пространствах, насколько мы вообще вправе ожидать этого от «бесконечномерных» операторов. Как мы увидим, это сходство особенно сильно проявляется в их спектральных свойствах.
4.17. Определения, (а) Пусть X —банахово пространство. Тогда SB (X) (напомним, что это сокращенное обозначение для 35 (X, X)) является не только банаховым пространством (см. теорему 4.1), но и алгеброй: если 5 ? SB (X) и T ? SB(X), то оператор ST ? SB (X) определяется равенством
(ST)(X)=S(T(X)) (X ? X).
Легко проверить, что выполняется неравенство
Il ST ||< Il 5 у И ГЦ.
В частности, можно определить степени оператора T?S8(X)i T0 = I (I—тождественное отображение пространства X, Ix = х} и Тп = TT»'1 для п = 1, 2, 3, ... .
г) Заметим, что линейный оператор Т: X—»¦ У, для которого множество T (U) компактно в Y, обязательно ограничен.—Прим. перев.
118
часть 1. общая теория
(b) Оператор T € !B(X) называется обратимым, если существует такой оператор S^ZB(X), что
ST = I = TS;
ъ этом случае оператор S называется обратным к T и обозначается Т~1. По теореме об открытом отображении оператор T (E S3 (X) обратим тогда и только тогда, когда (Jf(T) = IO} и Si(T) = X,
(c) Спектром a (T) оператора T ? S3 (X) называется множество всех таких скаляров X, для которых оператор T—XI необратим. Таким образом, X ? a (T) тогда и только тогда, когда выполняется хотя бы одно из двух следующих условий:
(і) образ оператора T—XI не совпадает со всем пространством X; (U) оператор T—XI не инъективен.
Если выполняется условие (ii), то X называется собственным значением оператора Т, a (Jf(T—XI) называется собственным подпространством, отвечающим этому собственному значению; каждый вектор х ? (Jf(T—XI), кроме х = 0, называется собственным вектором оператора Т; такой вектор удовлетворяет уравнению
Tx = Xx.
Вот некоторые очень простые факты, иллюстрирующие введенные понятия:
4.18. Теорема. Пусть X и Y—банаховы пространства.
(a) Если T ? S3 (X, Y) и dim ZA (T) < оо, то оператор T компактен.
(b) Если оператор T^ZA(X, Y) компактен и его образ ZA(T) замкнут, то dim ZA (T) < оо.
(c) Компактные операторы образуют замкнутое по норме подпространство в ZB(X, Y).
(d) Если оператор T^ZB(X) компактен и ХфО, то dim of (T—XI) < оо.
(e) Если (limX = oo и оператор T ? S3 (X) компактен, то О ? о (T).
(f) Если S Є S3 (X) и оператор T ? S3 (X) компактен, то операторы ST и TS тоже компактны.
Доказательство. Утверждение (а) очевидно. Если подпространству ZA(T) замкнуто, то оно полно (поскольку К полно), так что T является открытым отображением X на ZA (T); если T компактен, то отеюча следует, что ZA(T) локально компактно; таким образом, утверждение (Ь) является следствием теоремы 1.22.
Для доказательства утверждения (d) заметим, что сужение оператора T на подпространство Y-(Jf(T—XI) является компакт-
гл. 4. двойственность в банаховых пространствах Ц?>
ным оператором, образ которого (в силу условия X Ф 0) совпадает с Y; поэтому (d) следует из (Ь). Из (Ь) следует также (е), ибо если 0 ^ а (T), то Si(T) = X. Доказательство утверждения (f) тривиально.
Если 5 и T — компактные операторы из X в Y, то оператор S-J-T тоже компактен, поскольку сумма любых двух компактных подмножеств пространства Y компактна. Отсюда следует, что компактные операторы образуют подпространство 2 в пространстве 9B(X1 Y). Для завершения доказательства утверждения (с) мы покажем теперь, что E замкнуто. Пусть оператор TG^S(X, Y) принадлежит замыканию 2. Пусть U—открытый единичный шар в X, и пусть г > 0. Существует такой оператор S 6 2, что \\S—Г||<г. Так как множество S(U) вполне ограничено, то в U найдутся такие точки X1, ..., хп,- что шары радиуса г с центрами в точках Sxi покрывают S(U). Поскольку \\Sx—Тх\\<.г для всех X G U, отсюда следует, что множество T (U) покрывается шарами радиуса Зг с центрами в точках Tx1. Таким образом, множество T(U) вполне ограничено, и потому Г ?2. Щ
