Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Рудин У. -> "Функциональный анализ" -> 50

Функциональный анализ - Рудин У.

Рудин У. Функциональный анализ — М.: Мир, 1975. — 449 c.
Скачать (прямая ссылка): funkcanaliz1975.djvu
Предыдущая << 1 .. 44 45 46 47 48 49 < 50 > 51 52 53 54 55 56 .. 171 >> Следующая

о
Доказать, что оператор T ограничен в L2, но не компактен. [В действнтель-
гл. 4. двойственность b банаховых пространствах
129
ности 11^11 = 2; это утверждение является частным случаем неравенства Харди <).]
18. Доказать следующие утверждения:
(a) Если последовательность слабо сходится в X, то последовательность ограничена.
(b) Если T (X, Y) и последовательность |х„} слабо сходится к х?Х, то последовательность {7X,} слабо сходится к Tx.
(c) Если оператор Т?&(Х, Y) компактен и последовательность |д:„} слабо сходится к xQ_X, то || Txn—Tx \\—»-0.
(d) Для рефлексивного пространства X справедливо и обратное утверждение: если К Txn Il—>0 для всякой слабо сходящейся к 0 последовательности \хп}, то оператор T компактен. Указание. Воспользуйтесь утверждением (с) упр. 1 и утверждением (с) упр. 28 гл. 3.
(e) Если пространство X рефлексивно, то любой оператор T?<fB(X, /1) компактен; в частности, M(T) Ф Iі. Указание: воспользуйтесь упр. 5 гл. 3.
(f) Если пространство Y рефлексивно, то любой оператор Т?<?в(с0, Y) компактен.
19. Пусть Y — замкнутое подпространство в X и xl^X*. Положим
H = sup{| <х, х*0> |: x?Y, ||дс||<1},
6 = inf {п je*— *о||: х*^1}. —
*
Иными словами и,— норма сужения функционала X0 на подпространство Yr а <5— расстояние от хо до аннулятора подпространства Y. Доказать, что ц=д. Доказать также, что б = || лг*—xl || хотя бы для одного
20. Обобщить определения п. 4.6 и теорему 4.9 на локально выпуклые пространства. [Конечно, из формулировки упомянутой теоремы нужно исключить утверждение об изометричности построенных изоморфизмов.]
21. Пусть В и В*—замкнутые единичные шары в пространствах X и X*. Следующее утверждение представляет собой частичное обращение теоремы Банаха — Алаоглу: если E — такое выпуклое подмножество в X*, что множество Е(](гВ*) для любого г>0 слабо* компактно, то E слабо* замкнуто. [Следствие: подпространство в X* слабо* замкнуто тогда и только тогда, когда его пересечение с В* слабо* компактно.]
Восстановите доказательство по следующему наброску:
(і) Множество E сильно замкнуто.
(H) Сопоставим каждому множеству FcX его поляру
P(F) = {x*: I <х, х*>|<1 для всех x?F}.
Пересечение поляр P(F) всех конечных множеств F Cr-1B в точности совпадает с гВ*.
(iii) Теорема вытекает из следующего предложения: если, в дополнение к условиям теоремы, Ef\B*=0, то существует такой вектор х?Х, что Re<*, х*У^ 1 для всех х*?Е.
г) Неравенство Харди состоит в том, что если р > 1 и f ^LP(O, со), а
S
F(S)=IJ f(t)dt, то F?LP(0, со) и \\F\\p^[p/(p-l)]\\f\\P, причем кон-
0
станга р/(р—1) является наилучшей из возможных; см. [40, стр. 289].— Прим, перев.
5 № 871
130
часть 1. общая теория
(iv) Доказательство предложения. Положим F0-[Q}. Допустим, что для некоторого /г^ 1 уже построены такие конечные множества F0, ...,F/t-1, что IF і cz В и
(1) P (F6)Ci...V[P(Fk-i) П E П kB* 0 (заметим, что при ft —1 условие (1) выполняется). Положим
Q = P (Fo) Л • • • D P (Fk -1) П E П (* + і) ?*.
Если P (F) П Q f 0 для любого конечного множества F(Zk-1B1 то из слабой* компактности множества Q и утверждения (іі) следует, что (kB*)[)Q?:0, а это противоречит (1). Поэтому найдется такое конечное множество /7a: cz ^-1B, для которого выполняется условие (1) с заменой k на fc-f 1. Таким образом, построение может быть продолжено, и мы получаем такую бесконечную последовательность конечных множеств Fkdk~xB, что условие (1) выполняется для любого k^l. Ясно, что
CC
(2) ECl П P (Fk) = 0.
Расположим все элементы множества [JFk в ииде последовательное!и {хп}. Тогда I Xn К—>0. Определим оператор Т: X*—>с0, полагая
Тх*={<хп, х*>}. Тогда T(E) — выпуклое подмножество в с0. В силу (2)
117VII = SUPlOc,,, х*>\^1 п
для всех х*?Е. Поэтому найдется такая последовательность скаляров {а,,}, что 2 Iа» I < 00 и
со
Re 2 а« х*> 1 для всех x*f-E. Для завершения доказательства достаточно положить
22. Пусть оператор T?93 (X) компактен, IfOw S—T — II.
(a) Доказать, что если Jf (S") = Jf (S"+1) для некоторого неотрицательного целого п, то Jf (S")=c\(* (Sn+k) для всех as = I, 2, 3, ....
(b) Доказать, что равенство Jf (S") — Jf (S"+1) обязательно выполняется для некоторого п. Указание: см. доказательство теоремы 4.24.
(c) Пусть m—наименьшее из неотрицательных целых чисел п, для которых верно предыдущее равенство. Доказать, что подпространство JV (S"1) конечномерно,
x-jf (S'") е 5? (S«)
и сужение оператора S на j% (S'") взаимно однозначно отображает 5$ (S"1) на .? (S«).
23. Пусть {хп} — такая последовательность в банаховом пространстве X, что
2 ||*Я||=Л* < оо.
Доказать, что ряд 2х» сходится к некоторому векгору х ? X. Иными словами, доказать, что существует такой вектор х ? X, чго
lim "IU-(Jf1+...+*„) 11 = 0.
п -*¦ 00
гл. 4. двойственность b банаховых пространствах 13t
Доказать также, что Цх]\^М. [Мы воспользовались этими фактами при доказательстве леммы 4.13.]
24. Пусть с—пространство всех комплексных последовательностей
X=^X1, дс2, Хд, ...}¦,
для которых существует предел lim Xn = X00G C Положим И X W = sup I Xn |. Пусть c0 — подпространство в с, состоящее из всех тех х, для которых X00=O,
Предыдущая << 1 .. 44 45 46 47 48 49 < 50 > 51 52 53 54 55 56 .. 171 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed