Функциональный анализ - Рудин У.
Скачать (прямая ссылка):
Браун и Перси (A. Brown, С. Pearcy, Ann. Math., 82 (1965), 112—127)* доказали, что ограниченный линейный оператор T в сепарабельном гильбертовом пространстве // является коммутатором тогда и только тогда, когда он непрёдставим в виде Х1-\-С, где 1K Ф 0, а С—компактный оператор. См. также С. Schneeberger, Proc. Amer. Math. Soc, 28 (1971), 464—472.
Преобразование Кэли, связь его с индексами дефекта и доказательство теоремы 13.30 имеются в работе фон Неймана (Math. Ann., 102 (1929—1930), 49—131); там же доказана спектральная теорема для неограниченных нор-
левой компактный оператор в бесконечномерном банаховом пространстве, то все ограниченные операторы, коммутирующие с T, обладают общим нетривиальным инвариантным подпространством. Даже в случае одного оператора доказательство Ломоносова проще, чем все известные раньше.— Прим. ред.
См. также Н. К. Никольский, Исследования по линейным операторам и теории функций, I («Наука», Л., 1970), стр. 156—195, и его обзор^ в сб. «Итоги науки. Математический анализ», M., 1975.— Прим. ред.
2) Уинтнер рассматривал лишь случай, когда х и у—ограниченные самосопряженные операторы в гильбертовом пространстве; Путнам (С. R. Putnam,. Amer. J. Math., 73 (1951), 127—131) заметил, что метод Уинтнера не требует самосопряженности.— Прим. пёрев.
3) Этот результат впервые был получен Ф. В. Широковым (УMH, 11,. № 4 (1956), 167—168), а для коммутативной алгебры А—Зингером и Вер-мером (I. М. Singer, J. Wermer, Math. Ann., 129 (1955), 260—264).— Прим.. fiepee.
ПРИМЕЧАНИЯ И КОММЕНТАРИИ
429^
мальных операторов. Материал, относящийся к графикам, содержится в другой работе фон Неймана (Ann. Math., 33 (1932), 294—310). Наше доказательство теоремы 13.33 похоже на доказательство Рисса и Лорха (F. Ricsz, Е. R. Lorch, Trans. Amer. Math. Soc, 39 (1936), 331—340). См. также [13r. т. II, гл. XII].
Определение 13.34. Условие непрерывности (с), фигурирующее в этом определении, может быть ослаблено: если выполняются условия (а) и (b) а Q (t) X —*- X слабо при t 0 для всякого х?Х, то выполняется также уело* вие (с) (см. [16, стр. 322—324]). При доказательстве этого утверждения используются некоторые факты из теории интегрирования векторных функций* выходящие за рамки данной книги.
Теорема 13.35 доказана в [13], [16], [26], [42].
Теорема 13.37.. М. Стоун (М. Н. Stone, Ann. Math., 33 (1932), 643—648);-Секефальви-Надь (В. Sz.-Nagy, Math. Ann., 112 Ц936), 286—296).
Приложение А
п. А2. Алексаидер (J. W. Alexander, Pr ос. Nat. Acad. ¦.ScL USA, 25 (1939), 296_298).
п.' A3. А. Н. Тихонов (Math. Ann., 102 (1930), 544—561) доказал эту теорему для декартова произведения отрезков и использовал ее для построения компактного расширения вполне регулярного топологического пространства, известного теперь под названием расширение Чеха (или Стоуна — Чеха). Чех (Е. Cech, Ann. Math., 38 (1937), 823—844, особенно стр. 830) доказал теорему A3 в общем случае и изучил свойства упомянутого компактного расширения. Таким образом, оказывается, что теорему Тихонова доказал. Чех, тогда как чеховское расширение построил Тихонов —хорошая иллюстрация исторической надежности математической номенклатуры.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Агмон (Agmon S.), Lectures on Elliptic Boundary Value Problems, D. van Nostrand, Princeton, N. J., 1965. 2*. Ахиезер H. И., Лекции по теории аппроксимации, «Наука», M., 1965. 3*. Ахиезер Н. И., Глазман И. M., Теория линейных операторов в гильбертовом пространстве, «Наука», M., 1966. 4. Банах (Banach S.), Theorie des Operations lineaircs, Monografje Mate-
matyczne, t. 1, Warszawa, 1932. 5*. Банах С, Курс функціонального аналізу, «Радянська школа», Київ, 1948.
6. Браудер (Browder A.), Introduction to Function Algebras, W. A. Benjamin, Inc., New York, 1969. 7*. Бурбаки H., Спектральная теория, «Мир», M., 1972.
8. Виланский (Wilansky A.), Functional Analysis, Blaisdell, New York, 1964.
9. Гамелин Т., Равномерные алгебры, «Мир», M., 1973.
10. Гельфанд И. M., Райков Д'. А., Шилов Г. E., Коммутативные нормированные кольца, Физматгиз, M., 1960.
П. Гельфанд И. M., Шилов Г. E., Обобщенные функции и действия над ними (изд. 2-е), Физматгиз, M., 1959. 12*. Гофман К., Банаховы пространства аналитических функций, ИЛ, M., 1963.
13. Данфорд H., Шварц Дж., Линейные операторы, т. 1, ИЛ, M., 1962; т. 2, «Мир», M., 1966; т. 3, «Мир», M., 1974. 14*. Дэй М. M., Нормированные линейные пространства, ИЛ, M., 1961.
15. Зигмунд А., Тригонометрические ряды, т. 1, 2, «Мир», M., 1965.
16. Иосида K-, Функциональный анализ, «Мир», M., 1967.
17. Келли, Намиока (Kelley J. L., Namioka I.), Linear Topological Spaces, D. van Nostrand, Princeton, N. J., 1963.
18. Кёте (Kothe G.), Topological Vector Spaces, I, Springer, New York, 1969.
19. Лорх (Lorch E. R.), Spectral Theory, Oxford Univ. Press, New York, 1962.
20. Люмис Л., Введение в абстрактный гармонический анализ, ИЛ, M., 1956. 21*. Маркушевич А. И., Теория аналитических функций, т. 1, 2, «Наука»,
M., 1968.
22. Наймарк М. А., Нормированные кольца (изд. 2-е), «Наука», M., 1968. ¦23. Нахбин (Nachbin L.), The Haar Integral, D. van Nostrand, Princeton, N. J., 1965.
