Функциональный анализ - Рудин У.
Скачать (прямая ссылка):
Теорема 3.32 была использована Тейлором (А. Е. Taylor, Bull. Amer. Math. Soc, 44 (1938), 70—74) для доказательства нспустоты спектра любого ограниченного линейного оператора в комплексном банаховом пространстве. Так как любая банахова алгебра А изоморфна подалгебре алгебры (А) ¦(см. доказательство теоремы 10.2), то в этом результата Тейлора содержится утверждение (а) теоремы 10.13.
Упр. 9. Пример, указанный в этом упражнении, принадлежит фон Нейману (J. von Neumann, Math. Ann., 102 (1930), 370—427).
Упр. 10, Прототипом этого упражнения послужила конструкция, опи> санная в приложении книги [4].
Упр. 25. Если дополнительно предположить, что множество К метризуемо ¦(в индуцированной топологии), то для каждого у?К «представляющую» ¦меру и, можно выбрать так, чтобы она была сосредоточена на самом множестве крайних точек E1 а не на его замыкании Е. Эта теорема принадлежит Шоке (см. [36, стр. 25]). Из недавних работ в этом направлении укажем статью Буржена (R. D. Bourgin, Trans. Amer. Math. Soc, 154 (1971), 323—340).
Упр. 28 (с). Это утверждение представляет собой легкую часть теоремы Зберлейна—Шмульяна (см. [13, стр. 466—469 и 503—504]). Другой критерий
Сухомлинов доказал аналогичную георему и для модулей над телом кватернионов.—Прим. перев.
ПРИМЕЧАНИЯ И КОММЕНТАРИИ
421
слабой компактности был предложен Джеймсом (R. С. James, Trans. Amer. Math. Soc, 113 (1964), 129—140): слабо замкнутое подмножество S банахова пространства X слабо компактно тогда и только тогда, когда для всякого функционала х*?Х* сужение на S функции \х*\ достигает на S своей верхней грани.
Глава 4
Большинство результатов этой главы содержится в [4].
Компактные операторы часто называют вполне непрерывными. Согласно определению Гильберта (в I2), полная непрерывность оператора означает, что он переводит всякую слабо сходящуюся последовательность в сильно сходящуюся последовательность. Определение, которым пользуются теперь, было дано Ф. Phccom(F. Riesz, Acta Math., 41 (1918), 71—98). В рефлексивном пространстве эти два определения совпадают (упр. 18).
п. 4.5. Джеймс построил нерефлексивное банахово пространство X, кото-рос изометрически изоморфно пространству X** (R. С. James, Proc. Nat. Acad. Sei. USA, 37 (1951), 174—177).
Теоремы 4.19 и 4.25 были доказаны Шаудером (.1. Schauder, Studio Math., 2 (1930). 183—196). По поводу обобщений на произвольные топологические пространства см. работу Вильямсона (J. II. Williamson, /. Lond. Math. Soc, 29 (1954), 149—156)1); см. также [48, гл. 9].
Упр. 15. Эти операторы обычно называются операторами Гильберта — Шмидта (см. [13, т. II, гл. XI]).
Упр. 17. Операторы такого типа изучались Брауном, Халмошем и Шилд-сом (A. Brown, Р. R. Haimos, A. L. Shields, Acta Sei. Math. Szeged, 26 (1965), 125—137).
Упр. 19. Рогозинский и Шапиро воспользовались этой своеобразной ¦«двойственностью» для получения весьма детальной информации о некоторых экстремальных задачах для голоморфных функций (W. W. Rogosinski, -Н. S. Shapiro, Acta Math., 90 (1953), 287—318).
Упр. 21. Эта теорема была доказана М. Г. Крейном и Ю. Л. Шмуль-яном (Ann. Math., 41 (1940), 556—583). См. также [13, т. I1 стр. 465].
Глава 5
Теорема 5.1. Более общий вариант этой теоремы имеется в работе Эд-вардса (R. Е. Edwards, /. Lond. Math. Soc, 32 (1957), 499—501).
Теорема 5.2 принадлежит Гротендику (A. Grothendieck, Сап. J. Math., p (1954), 158—160). Доказательство Гротендика менее элементарно, чем приведенное в тексте.
Теорема 5.3. По поводу тригонометрических рядов с лакунами см. работы Рудина (W. Rudin, /. Math. Месії., 9 (1960), 203^228) и Кахана <J. P. Kahane, Butt. Amer. Math. Soc, 70 (1964), 199—213), а также [29, п. 5.7].
Теорема 5.5 впервые была доказана А. А. Ляпуновым (ИАН СССР, сер. матем., 3 (1940), 465—478). Доказательство, приведенное в тексте, принадлежит Линденштрауссу (J. Lindenstrauss, J. Math. Mech., 15 (1966), 971— .972). У л распространил эту теорему на меры со значениями в рефлексивном банаховом пространстве или в сепарабелыюм сопряженном пространстве ¦(J. J. UhI, Ргос. Amer. Math. Soc, 23 (1969), 158—І63).
Теорема 5.7. Идея применить теорему Крейна — Мильмана для . доказательства теоремы Стоуна—Вейерштрасса принадлежит де Бранжу (L. de Bran-
1) Имеется русский .перевод: сб. Математика, 4 : 5 (I960), 85—91.— Прим. ¦перев.
422
приложение в
ges, Proc. Amer. Math. Soc, 10 (1959), 822—824). Теорема 5.7 принадлежит Бишопу (Е. Bishop, Рас. J. Math., 11 (1961), 777—783), а ее доказательство, приведенное в тексте, предложено Гликсбергом (I. Glicksberg, Trans. Amer. Math. Soc, 105 (1962), 415—435).
Теорема 5.9 доказана Бишопом (Е. Bishop, Proc. Amer. Math. Soc., 13-(1962), 140—143). По поводу аналогичных теорем в частном случае диск-алгебры см. работы Рудина (W. Rudin, Proc. Amer. Math. Soc., 7 (1956), 808—811) и Карлесона (L. Carleson, Math. Z., 66 (1957), 447—451). Другие приложения имеются в гл. 6 книги [30].
Теорема 5.10. Приведенное доказательство следует работе Хейнса (M.Heins, Ann. Math., 52 (1950), 568—573), в которой тот же самый метод применяется-к широкому классу интерполяционных задач.
